Informazione sulle derivate parziali
Ciao ragazzi,volevo un chiarimento se possibile.
Funzione a 2 variabili.
Una funzione non derivabile (es. nell'origine) può essere continua?
lo verifico con il rapporto incrementale?
scusate se ho scritto cretinate
grazie anticipatamente
Funzione a 2 variabili.
Una funzione non derivabile (es. nell'origine) può essere continua?
lo verifico con il rapporto incrementale?
scusate se ho scritto cretinate
grazie anticipatamente
Risposte
Si, una funzione non derivabile può benissimo essere continua, per esempio: prendi una piramide, capovolgila e metti la cima nell'origine vedi che lì le derivate parziali non esistono, ma ivi è ben continua.
In una variabile prendi la funzione $|x|$, prova a disegnarla e vedrai che è continua nell'origine, prova a calcolare la derivata destra e poi la sinistra nell'origine, vedrai che sono diverse, quindi non è derivabile.
vedi che lì le derivate parziali non esistono, ma ivi è ben continua. In una variabile prendi la funzione $|x|$, prova a disegnarla e vedrai che è continua nell'origine, prova a calcolare la derivata destra e poi la sinistra nell'origine, vedrai che sono diverse, quindi non è derivabile.
ok grazie.
Un altra cosa se possibile
Una funzione è differenziabile se:
1)ha le derivate continue nel punto sia rispetto a X che Y
2)Con quella formula (che ora non scrivo)dato che esistono delle funzioni che non hanno derivate continue ma sono differenziabili (come ho capito)
Ma per verificare che le derivate siano continue in un punto come faccio?
Il rapporto incrementale o il dominio della derivata?
Scusate ma ho un pò le idee confuse!
GRAZIE ANTICIPATAMENTE
Un altra cosa se possibile
Una funzione è differenziabile se:
1)ha le derivate continue nel punto sia rispetto a X che Y
2)Con quella formula (che ora non scrivo)dato che esistono delle funzioni che non hanno derivate continue ma sono differenziabili (come ho capito)
Ma per verificare che le derivate siano continue in un punto come faccio?
Il rapporto incrementale o il dominio della derivata?
Scusate ma ho un pò le idee confuse!
GRAZIE ANTICIPATAMENTE
Se una funzione è differenziabile in un punto, lì le derivate devono esistere, non può essere altrimenti, la continuità invece può sussistere benissimo ovunque, anche se la funzione non è derivabile in nessuno di quei punti.
Una condizione sufficiente per l'esistenza del differenziale in un punto, è l'esistenza delle derivate parziali in un intorno del punto e continue in quel punto.
[edit] Per verificare che sono continue, le calcoli e procedi normalmente. Se non è possibile ottenerle normalmente utilizza la definizione. Ci sono molti esempi a riguardo in una dimensione.
L'idea della dimostrazione si basa sul teorema di lagrange, cioè spezzi il vettore incremento in tratti ortogonali, e considerando l'incremento della funzione spezzato in quei tratti, che puoi allora ottenere moltiplicando la loro lunghezza per la derivata parziale in un loro punto interno, la continuità delle derivate parziali ti consente poi di poter contenere minore di un certo [tex]\epsilon[/tex] il loro incremento a partire dal punto e in un opportuno intorno, ti rimane allora da moltiplicare quell' [tex]\epsilon[/tex] per la somma delle lunghezze di quei tratti, che puoi maggiorare con l'ampiezza del vettore incremento nella formula del differenziale, dividi il tutto e voilà, comunque bisogna scriverla, la descrizione non è un granchè
Una condizione sufficiente per l'esistenza del differenziale in un punto, è l'esistenza delle derivate parziali in un intorno del punto e continue in quel punto.
[edit] Per verificare che sono continue, le calcoli e procedi normalmente. Se non è possibile ottenerle normalmente utilizza la definizione. Ci sono molti esempi a riguardo in una dimensione.
L'idea della dimostrazione si basa sul teorema di lagrange, cioè spezzi il vettore incremento in tratti ortogonali, e considerando l'incremento della funzione spezzato in quei tratti, che puoi allora ottenere moltiplicando la loro lunghezza per la derivata parziale in un loro punto interno, la continuità delle derivate parziali ti consente poi di poter contenere minore di un certo [tex]\epsilon[/tex] il loro incremento a partire dal punto e in un opportuno intorno, ti rimane allora da moltiplicare quell' [tex]\epsilon[/tex] per la somma delle lunghezze di quei tratti, che puoi maggiorare con l'ampiezza del vettore incremento nella formula del differenziale, dividi il tutto e voilà, comunque bisogna scriverla, la descrizione non è un granchè
quindi svolgo le derivate parziali e poi sostituisco il punto es.(0,0).....se viene una forma indeterminata procedo con il rapporto incrementale.
Le derivate parziali devono tendere allo stesso numero giusto?
Le derivate parziali devono tendere allo stesso numero giusto?
esempio:
$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2) $
allora l'insieme di definizione è tutto R^2
Calcolo le Derivate Parziali:
$ f'(x)=x/sqrt(x^2+y^2) $
$ f'(y)=y/sqrt(x^2+y^2) $
Quindi è derivabile la funzione è derivabile parzialmente rispetto $ R^2-(0,0) $
Il mio primo dubbio è qui......se la funziona aveva un insieme di definizione anche quello veniva escluso da dove era definita la derivata?
Adesso calcolo la differenziabilità in (0,0):
Dato che in (0,0) la mia funzione non è derivabile procedo con il rapporto incrementale,e ne esce fuori che il limite non esiste ne in x ne in y.
Adesso per vedere se è differenziabile (dato che la condizione di prima è necessaria ma non sufficiente),dovrei applicare tutta quella formula che evito di scrivere..........
Il procedimanto è giusto?
$ f(x,y)=sqrt(x^2+y^2) $
allora l'insieme di definizione è tutto R^2
Calcolo le Derivate Parziali:
$ f'(x)=x/sqrt(x^2+y^2) $
$ f'(y)=y/sqrt(x^2+y^2) $
Quindi è derivabile la funzione è derivabile parzialmente rispetto $ R^2-(0,0) $
Il mio primo dubbio è qui......se la funziona aveva un insieme di definizione anche quello veniva escluso da dove era definita la derivata?
Adesso calcolo la differenziabilità in (0,0):
Dato che in (0,0) la mia funzione non è derivabile procedo con il rapporto incrementale,e ne esce fuori che il limite non esiste ne in x ne in y.
Adesso per vedere se è differenziabile (dato che la condizione di prima è necessaria ma non sufficiente),dovrei applicare tutta quella formula che evito di scrivere..........
Il procedimanto è giusto?
Se nell'origine, come in questo caso, le derivate parziali non esisono, non può esistere il differenziale. Il fatto di applicare la definizione in un punto invece di calcolarla così come fai negli altri casi, cioè utilizzando la tabella delle derivate per le funzioni più comuni, non deve sorprenderti, in fondo anche per le altre si è fatto così. Vedila così, per calcolare le derivate parziali devi applicare sempre la definizione, in ogni punto, solo che in qualche punto ti è possibile utilizzare formule note, in altri no, e quindi devi scendere a terra e applicare la definizione. In questo caso però ti accorgi che il limite viene per entrembi infinito, quindi nell'origine non esistono le derivate parziali e quindi nemmeno il differenziale.
ok,ma io so che esistono alcune funzioni dove anche se le derivate non sono continue nel punto,sono differenziabili o mi sbaglio.
Io non ho mai visto una dimostrazione per cui se la funzione è differenziabile, allora le derivate parziali esistono e sono continue nel punto, ne saprei fornire una dimostrazione in tal senso, e ora non mi viene un esempio che ne dimostri la falsità. In generale è invece possibile dimostrare la falsità(o almeno l'esempio l'ho pescato in giro) per cui se le derivate parziali non sono continue, ma esistono in un intorno del punto, essendo pure limitate, il differenziale esista.
Assumendo che valga $0$ nell'origine, ecco la funzione esempio:
[tex]x^3 \over {x^2 + y^2}[/tex]
Assumendo che valga $0$ nell'origine, ecco la funzione esempio:
[tex]x^3 \over {x^2 + y^2}[/tex]
A meno di sviste clamorose, il seguente dovrebbe essere un buon controesempio.
Prova a vedere cosa succede se:
[tex]$f(x,y):=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} &\text{, se $(x,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex].
In particolare, prova che [tex]$f(x,y)$[/tex] è continua e derivabile lungo ogni direzione in [tex]$(0,0)$[/tex], nonché differenziabile in quel punto, però non ha nessuna derivata direzionale continua in [tex]$(0,0)$[/tex].
Prova a vedere cosa succede se:
[tex]$f(x,y):=\begin{cases} (x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} &\text{, se $(x,y)\neq (0,0)$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex].
In particolare, prova che [tex]$f(x,y)$[/tex] è continua e derivabile lungo ogni direzione in [tex]$(0,0)$[/tex], nonché differenziabile in quel punto, però non ha nessuna derivata direzionale continua in [tex]$(0,0)$[/tex].
Forse non sono stato chiaro o non ho capito io.
Allora io se che una funzione è differenziabile se:
1)Se ammette derivate continue nell'origine allora sarà sicuramente differenziabile.
2)esistono funzioni che non hanno derivate parziali continue ma sono differenziabili
giusto?
Allora io se che una funzione è differenziabile se:
1)Se ammette derivate continue nell'origine allora sarà sicuramente differenziabile.
2)esistono funzioni che non hanno derivate parziali continue ma sono differenziabili
giusto?
quindi (sempre da come ho capito) :
per il punto 1:
mi svolgo le derivate parziali normalmente e vedo se sono continue nel punto.
per il punto 2:
$ lim (f(x,y)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)(x-x0)-fy(x0,yo)(y-y0))/(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) $
quest' ultimo deve tendere a 0.
oltre a questa formula del punto 2 posso studiare il rapporto incrementale giusto?
grazie ancora ragazzi e scusate ma sono molto confuso.
per il punto 1:
mi svolgo le derivate parziali normalmente e vedo se sono continue nel punto.
per il punto 2:
$ lim (f(x,y)-f(x0,y0)-fx(x0,y0)(x-x0)-fy(x0,yo)(y-y0))/(sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2)) $
quest' ultimo deve tendere a 0.
oltre a questa formula del punto 2 posso studiare il rapporto incrementale giusto?
grazie ancora ragazzi e scusate ma sono molto confuso.
A parte l'ultima domanda che non ho capito, ciò che hai scritto sopra è corretto. Ciao
ok ragazzi ho capito allora grazie lo stesso per aver risolto i miei dubbi .....e ne approfitto
BUON NATALE!!
BUON NATALE!!
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