Info teorica su integrali
L'integrale termina sempre con un dx che sarebbe il differenziale!
Quando si applica il metodo della sostituizione, in base a quale criterio il dx diventa ad esempio dt?
In un esempio:
$int_{}^{} frac{x+1}{(3x+2)^2} dx$ il libro pone $[3x+2=t, 3dx=dt,x=\frac{t-2}{3}]$ ma cercando non ho trovato nessuna spiegazione su come si esegue questo conteggio!
C'è qualche anima pia che me lo puo spiegare perfavore?
Quando si applica il metodo della sostituizione, in base a quale criterio il dx diventa ad esempio dt?
In un esempio:
$int_{}^{} frac{x+1}{(3x+2)^2} dx$ il libro pone $[3x+2=t, 3dx=dt,x=\frac{t-2}{3}]$ ma cercando non ho trovato nessuna spiegazione su come si esegue questo conteggio!
C'è qualche anima pia che me lo puo spiegare perfavore?
Risposte
Conosci la formula di integrazione per sostituzione? Se poni in un integrale [tex]$x=\varphi(t)$[/tex] allora
[tex]$\int f(x)\ dx=\int F(t)\ \varphi'(t)\ dt$[/tex]
dove [tex]$F(t)=f(\varphi(t)),\ dx=\varphi'(t)\ dt$[/tex].
[tex]$\int f(x)\ dx=\int F(t)\ \varphi'(t)\ dt$[/tex]
dove [tex]$F(t)=f(\varphi(t)),\ dx=\varphi'(t)\ dt$[/tex].
si ma ho poca dimestichezza nell'interpretarla...mi aiuti a comprenderla?
praticamente mi han detto che per sostituzione bisogna prendere t e sostituirla a f(x) e che bisogna porre dx =dt e mi sembra che sia sbagliata come affermazione!
Dalla formula, mi sembra di capire che le cose non stanno propriamente così!
$\phi(t)=x$ significa che si associa a una funzione t il valore di x? ma non andrebbe associato a una f(x) il valore di t? vedi l'esempio che avevo scritto
praticamente mi han detto che per sostituzione bisogna prendere t e sostituirla a f(x) e che bisogna porre dx =dt e mi sembra che sia sbagliata come affermazione!
Dalla formula, mi sembra di capire che le cose non stanno propriamente così!
$\phi(t)=x$ significa che si associa a una funzione t il valore di x? ma non andrebbe associato a una f(x) il valore di t? vedi l'esempio che avevo scritto
Quello che devi fare, è il seguente ragionamento: se sostituisci $x$ con una funzione dipendente da $t$, allora il $dx$ va sostituito con $dt$ moltiplicato per la derivata (rispetto a $t$) di tale funzione. Per esempio se hai
[tex]$\int\sqrt{1-x^2}\ dx$[/tex]
puoi porre $x=\sin t$, per cui $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$, e anche $dx=(\sin t)'\ dt=\cos t\ dt$, per cui
[tex]$\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos t\cdot\cos t\ dt=\int\cos^2 t\ dt$[/tex]
e così via...
[tex]$\int\sqrt{1-x^2}\ dx$[/tex]
puoi porre $x=\sin t$, per cui $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{\cos^2 t}=\cos t$, e anche $dx=(\sin t)'\ dt=\cos t\ dt$, per cui
[tex]$\int\sqrt{1-x^2}\ dx=\int\cos t\cdot\cos t\ dt=\int\cos^2 t\ dt$[/tex]
e così via...
grazie... guardando alcuni esempi e con la tua formula mi è tutto più chiaro!
^_^
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