Info su serie di potenze

[Alxxx28]

Ciao a tutti
Devo studiare la convergenza di questa serie

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^(n-1)n}{2n+1}x^(2n)$

per iniziare ho posto $z=x^2$, in modo da ottenere la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^(n-1)n}{2n+1}z^(n)$

Poi, attraverso il criterio del rapporto ottengo $l=\lim_(n->+\infty)| \frac{n+1}{2(n+1)+1}*\frac{2n+1}{n}|=1$
Quindi poichè il raggio di convergenza è uguale a 1, c'è convergenza assoluta per $z\in(-1,1)$, dato che il punto iniziale è $0$.
E a questo punto mi sorge il dubbio su come procedere:
dato che gli estremi sono $z=-1$ e $z=1$, per esprimerli tramite la variabile $x$ devo ricorrere necessariamente
ai numeri complessi? Oppure c'è qualcosa di errato nel mio ragionamento?

Vi ringrazio in anticipo

[j18eos]

Ricordati che [tex]$z\in(-1;1)\iff|z|<1$[/tex].

[gugo82]

Per tornare alla variabile [tex]$x$[/tex] devi semplicemente risolvere il sistema di disequazioni [tex]$-1

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[Alxxx28]

"j18eos":Ricordati che [tex]$z\in(-1;1)\iff|z|<1$[/tex].

Si si, questo mi è chiaro.
Allora $x^2> -1$ implica che $x>sqrt(-1)=i$, quindi l' intervallo di convergenza assoluta, espresso in termini di $x$, è $(i,1)$

Esatto?

[gugo82]

Ma perchè vuoi usare i numeri complessi se stai trattando variabili reali?

E, poi, sai che non ha senso scrivere [tex]$x>\imath$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]?

Come ti ho detto, devi risolvere in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] il sistema:

[tex]$\begin{cases} x^2\leq 1\\ x^2>-1\end{cases}$[/tex],

che non mi senbra difficile.

[Alxxx28]

"gugo82":Ma perchè vuoi usare i numeri complessi se stai trattando variabili reali?
E, poi, sai che non ha senso scrivere [tex]$x>\imath$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]?

Sinceramente non so, infatti avevo il dubbio. Ho poca dimestichezza con i numeri complessi.

"gugo82":
Come ti ho detto, devi risolvere in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] il sistema:

[tex]$\begin{cases} x^2\leq 1\\ x^2>-1\end{cases}$[/tex],

che non mi senbra difficile.

Per me non ha senso,in ambito reale, questa disequazione $x^2> -1$, dato che diventa $x> sqrt(-1)$
Al limite posso passare a considerare $x^2>=0$, è così che si procede?

[gugo82]

"Alxxx28":[quote="gugo82"]Ma perchè vuoi usare i numeri complessi se stai trattando variabili reali?
E, poi, sai che non ha senso scrivere [tex]$x>\imath$[/tex] in [tex]$\mathbb{C}$[/tex]?

Sinceramente non so, infatti avevo il dubbio. Ho poca dimestichezza con i numeri complessi.

"gugo82":
Come ti ho detto, devi risolvere in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] il sistema:

[tex]$\begin{cases} x^2\leq 1\\ x^2>-1\end{cases}$[/tex],

che non mi senbra difficile.

Per me non ha senso,in ambito reale, questa disequazione $x^2> -1$, dato che diventa $x> sqrt(-1)$
Al limite posso passare a considerare $x^2>=0$, è così che si procede?[/quote]
Non ha senso?!?!
Stai scherzando, mi auguro.

Alle superiori (credo al primo anno) mi hanno insegnato che qualsiasi numero elevato al quadrato (e più in generale ad una potenza intera pari) restituisce un numero non negativo, ergo la disequazione [tex]$x^2 >-1$[/tex] è vera per ogni valore reale di [tex]$x$[/tex]...

[Alxxx28]

Io intendo che in questa forma $x> sqrt(-1)$, dato che consideriamo numeri reali allora non ha senso parlare di radice di $-1$, capito?
Forse non mi ero espresso al meglio.
E appunto, come dicevo, passo direttamente a considerare $x^2>=0$ (che equivale a $x^2> -1$) nel sistema, insieme all' altra disequazione

[gugo82]

"Alxxx28":Io intendo che in questa forma $x> sqrt(-1)$, dato che consideriamo numeri reali allora non ha senso parlare di radice di $-1$, capito?

"Questa forma" non sta né in cielo né in terra, né se consideri i reali né se consideri i complessi.

[Alxxx28]

ok grazie