Info su Serie compito
Salve ragazzi, buona sera.
Qualche giorno fa ho fatto un compito e ricontrollandolo a casa mi sono accorto di aver fatto un errore.
Si tratta della serie:
$\sum_{n=0}^infty (1/(2z+i))^(2n)$
Confrontando il risultato con gli altri ragazzi ho visto di aver determinato correttamente ove essa converge, ovvero all'esterno della circonferenza di raggio 1/2 e centro (0,-1/2).
Solo che ho commesso un errore, dopo aver detto che si trattava della serie geometrica di ragione... e che come tale divergeva se e solo se i modulo della ragione fosse minore di uno e dopo aver scoperto che convergeva ho scritto:
"la serie converge assolutamente e quindi semplicemente".
Credo che questa affermazione sia sbagliata in quanto non ho controllato come si comporta la serie dei moduli.. ero sicuro che convergesse in quanto serie geometrica, ma semplicemente non assolutamente, ed essendo la convergenza semlpice condizione necessaria e non sufficente per quella assoluta..
Cosa potete dirmi a riguardo? Come posso giustificare una tale affermazione, sempre che sia giustificabile.
Grazie in anticipo!
Qualche giorno fa ho fatto un compito e ricontrollandolo a casa mi sono accorto di aver fatto un errore.
Si tratta della serie:
$\sum_{n=0}^infty (1/(2z+i))^(2n)$
Confrontando il risultato con gli altri ragazzi ho visto di aver determinato correttamente ove essa converge, ovvero all'esterno della circonferenza di raggio 1/2 e centro (0,-1/2).
Solo che ho commesso un errore, dopo aver detto che si trattava della serie geometrica di ragione... e che come tale divergeva se e solo se i modulo della ragione fosse minore di uno e dopo aver scoperto che convergeva ho scritto:
"la serie converge assolutamente e quindi semplicemente".
Credo che questa affermazione sia sbagliata in quanto non ho controllato come si comporta la serie dei moduli.. ero sicuro che convergesse in quanto serie geometrica, ma semplicemente non assolutamente, ed essendo la convergenza semlpice condizione necessaria e non sufficente per quella assoluta..
Cosa potete dirmi a riguardo? Come posso giustificare una tale affermazione, sempre che sia giustificabile.
Grazie in anticipo!
Risposte
"playbasfa":
$\sum_{n=0}^infty (1/(2z+i))^2$
Che fine ha fatto $n$ dentro la sommatoria?
Hai ragione...
ho modificato
ho modificato
L'insieme di convergenza è, giustamente, la parte del piano complesso esterna al cerchio chiuso di centro $-1/2"i"$ e raggio $1/2$.
Che la convergenza della serie sia assoluta è immediata conseguenza del fatto che la serie geometrica complessa $\sum zeta^n$ converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) in ogni compatto contenuto nel cerchio unitario aperto.
Che la convergenza della serie sia assoluta è immediata conseguenza del fatto che la serie geometrica complessa $\sum zeta^n$ converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) in ogni compatto contenuto nel cerchio unitario aperto.
"Gugo82":
L'insieme di convergenza è, giustamente, la parte del piano complesso esterna al cerchio chiuso di centro $-1/2"i"$ e raggio $1/2$.
Che la convergenza della serie sia assoluta è immediata conseguenza del fatto che la serie geometrica complessa $\sum zeta^n$ converge totalmente (e quindi uniformemente ed assolutamente) in ogni compatto contenuto nel cerchio unitario aperto.
Ah, quindi non ho sbagliato a dire che converge anche assolutamente?
Peccato però che non potrò dare questa giustificazione, perchè non abbiamo mai parlato di convergenza totale ne di convergenza uniforme, ma solo di convergenza semplice e assoluta. E in particolare so soltanto che se applico uno dei due criteri (radice o rapporto) o il criterio del raggio di convergenza, la serie converge assolutamente e quindi semplicemente.
Solitamente risolvo le serie sempre con il criterio del raggio di convergenza, ecco perchè (erroneamente) in automatico ho detto che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente.. dimenticandomi che fosse una serie di ragione.. Con gli strumenti che ho in mano dici che potrei uscirne in qualche modo.
P.S. ti ringrazio, apprezzo molto l'aiuto gratuito e competente che mi sta dando.
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