Info serie geometrica
Salve, sto svolgendo una serie numerica ,,, e mi sono perso nei passaggi :
la serie in questione è $\sum_{n} 1/(x+sqrt(x))^n$ ; si tratta di una serie geometrica quindi ;
$|q|<1$ convergente
$ q>1$ divergente +
$q<=-1$ indeterminata
la prima condizione è equivalente al sistema
$\{(1/(x+sqrt(x))> -1),(1/(x+sqrt(x))<1):}$ la prima disequazione ha soluzioni : $x<-1$ ed $AA in R$ ; la seconda secondo i miei calcoli mi viene con una soluzione uguale ad $x<=1$ e una soluzione "indefinita/impossibile"
tenendo conto del campo di esistenza $x>0$.... la serie risulta convergente per $x<-1$ ??
....
la serie in questione è $\sum_{n} 1/(x+sqrt(x))^n$ ; si tratta di una serie geometrica quindi ;
$|q|<1$ convergente
$ q>1$ divergente +
$q<=-1$ indeterminata
la prima condizione è equivalente al sistema
$\{(1/(x+sqrt(x))> -1),(1/(x+sqrt(x))<1):}$ la prima disequazione ha soluzioni : $x<-1$ ed $AA in R$ ; la seconda secondo i miei calcoli mi viene con una soluzione uguale ad $x<=1$ e una soluzione "indefinita/impossibile"
tenendo conto del campo di esistenza $x>0$.... la serie risulta convergente per $x<-1$ ??
....
Risposte
scusa ma dalla prima diseq. hai:
$1/(x + sqrt(x))> - 1 => 1 + x + sqrt(x) > 0 => x > 0$
tu che calcoli hai fatto ?
$1/(x + sqrt(x))> - 1 => 1 + x + sqrt(x) > 0 => x > 0$
tu che calcoli hai fatto ?
"stefano_89":
scusa ma dalla prima diseq. hai:
$1/(x + sqrt(x))> - 1 => 1 + x + sqrt(x) > 0 => x > 0$
tu che calcoli hai fatto ?
l'ho risolta col sistema come una disequazione irrazionale: $sqrt(x) > -x-1
puoi postare passo passo come l'hai risolta te?
Facciamo una cosa più costruttiva 
. Risolviamo insieme le disequazioni e vediamo cosa succede!
Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione $\frac{1}{x+\sqrt(x)}$. Qual è?
. Risolviamo insieme le disequazioni e vediamo cosa succede! Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione $\frac{1}{x+\sqrt(x)}$. Qual è?
va bene, sono arrivato anch' io a quel punto. Però all' inizio hai giustamente notato che il dominio è $x > 0$. Quindi $sqrt(x) > - x - 1$ è sempre verificata nel suo dominio.
Puoi vederla anche in un altro modo, poni: $y = sqrt(x) => y^2 + y + 1 > 0$ che è vera per ogni y. Quindi anche per ogni $x > 0$.
Puoi vederla anche in un altro modo, poni: $y = sqrt(x) => y^2 + y + 1 > 0$ che è vera per ogni y. Quindi anche per ogni $x > 0$.
"Mathematico":
Facciamo una cosa più costruttiva
Per prima cosa determiniamo il dominio della funzione $\frac{1}{x+\sqrt(x)}$. Qual è?
ops, si la prima è sempre verificata in $RR^+$... è normale che è sempre maggiore di un numero negativo... sotto il Dominio $x>0$
la seconda $1/(x+sqrt(x))<1$ $->$ $ 1/(x+sqrt(x))-1<0$ senza sistema mi viene $x>2/3$ ,se sono giusti i calcoli, la serie dovrebbe essere convergente per $ x>2/3$ ?
mmm, scrivi i calcoli della seconda. Penso tu commetta errori nei passaggi algebrici 
"Mathematico":
mmm, scrivi i calcoli della seconda. Penso tu commetta errori nei passaggi algebrici
si sicuramente sbaglio il modo di risoluzione di questa "semplice" irrazionale fratta$1/(x+sqrtx)-1<0$ $->$ $ (1-x-sqrt(x))/[x+sqrt(x)]<.0$
Numeratore $<0$
$1-x-sqrt(x)<0$ moltiplico per 2 per far scomparire la radice $2-2x-x<0$ $->$ $x> -2/3$
mi sa che ho sbagliato procedimento...
|:axe:| (<--- scusa per questa, ma la trovavo molto divertente 
)
[tex]1-x-\sqrt{x}<0[/tex]
Poni [tex]\sqrt{x}= t[/tex], di conseguenza [tex]x=t^2[/tex] , sostituendo, la disequazione diventa [tex]1-t^2-t<0[/tex] o equivalentemente [tex]t^2+t-1>0[/tex], risolvila porgendo attenzione al fatto che sono accettabili solo valori positivi
)[tex]1-x-\sqrt{x}<0[/tex]
Poni [tex]\sqrt{x}= t[/tex], di conseguenza [tex]x=t^2[/tex] , sostituendo, la disequazione diventa [tex]1-t^2-t<0[/tex] o equivalentemente [tex]t^2+t-1>0[/tex], risolvila porgendo attenzione al fatto che sono accettabili solo valori positivi
"Mathematico":
|:axe:| (<--- scusa per questa, ma la trovavo molto divertente
[tex]1-x-\sqrt{x}<0[/tex]
Poni [tex]\sqrt{x}= t[/tex], di conseguenza [tex]x=t^2[/tex] , sostituendo, la disequazione diventa [tex]1-t^2-t<0[/tex] o equivalentemente [tex]t^2+t-1>0[/tex], risolvila porgendo attenzione al fatto che sono accettabili solo valori positivi
esattamente quello che ho scritto prima..
"Mathematico":
|:axe:| (<--- scusa per questa, ma la trovavo molto divertente
[tex]1-x-\sqrt{x}<0[/tex]
Poni [tex]\sqrt{x}= t[/tex], di conseguenza [tex]x=t^2[/tex] , sostituendo, la disequazione diventa [tex]1-t^2-t<0[/tex] o equivalentemente [tex]t^2+t-1>0[/tex], risolvila porgendo attenzione al fatto che sono accettabili solo valori positivi
figurati è troppo ok quella faccina
,,, problemi con queste "stupide" disuguaglianze...$x>[-1+sqrt(5)]/2 $ ed $x<[-1-sqrt(5)]/2$ se dobbiamo prendere solo valori positivi scegliamo solo la prima soluzione ,,,
e quindi la serie risulterà convergente per $x>[-1+sqrt(5)]/2 $
ps: di solito queste disequazione dove compare una o più $x$ e non $x^2$ si possono risolvere senza l'ausilio delle formule per le disequazioni irrazionali "sistemi"....?
con queste forme in cui la radice si trova sempre al denominatore faccio spesso confusione,,,
magari qualche consiglio...
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