Info esercizi analisi
Salve ragazzi vorrei delle spiegazioni su alcuni esercizi che ho fatto ad un appello di analisi ma ahimè sono stato bocciato.
1)
Si determina il numero di soluzioni del'equazione
$3^x+4^x+5^x=6^x$. io avevo pensato di spostare il $6^x$ nel primo membro e poi applicare i logaritmi $log(3^x+4^x+5^x-6^x)=log(0)$ e dire che è impossibile in quanto il logaritmo di 0 non esiste. Sono quasi sicuro che sia sbagliato e vorrei sapere un evenutale svolgimento.
2)
Determinare il numero dei zeri della funzione
$f(x) = x^2-e^x$
Io ho imposto $x^2-e^x=0$ e poi ho trasformato $e^(2log(x))=e^x$ e poi $2log(x)=x$ e ho risposto che eventualmente ha una sola radice in quanto è un'equazione di primo grado e al massimo puo avere una sola radice reale.
So che avrò fatto degli errori madornali ma ditemi se piu o meno ho fatto qualcosa di giusto in quanto domani dovrei andare a visionare il compito e provare a prendere almeno un 18 (visto che mi ha messo 15 il prof).
Grazie mille
Vincenzo Cestra
1)
Si determina il numero di soluzioni del'equazione
$3^x+4^x+5^x=6^x$. io avevo pensato di spostare il $6^x$ nel primo membro e poi applicare i logaritmi $log(3^x+4^x+5^x-6^x)=log(0)$ e dire che è impossibile in quanto il logaritmo di 0 non esiste. Sono quasi sicuro che sia sbagliato e vorrei sapere un evenutale svolgimento.
2)
Determinare il numero dei zeri della funzione
$f(x) = x^2-e^x$
Io ho imposto $x^2-e^x=0$ e poi ho trasformato $e^(2log(x))=e^x$ e poi $2log(x)=x$ e ho risposto che eventualmente ha una sola radice in quanto è un'equazione di primo grado e al massimo puo avere una sola radice reale.
So che avrò fatto degli errori madornali ma ditemi se piu o meno ho fatto qualcosa di giusto in quanto domani dovrei andare a visionare il compito e provare a prendere almeno un 18 (visto che mi ha messo 15 il prof).
Grazie mille
Vincenzo Cestra
Risposte
La prova è confutabile con un controesempio: nonostante in $log(2^x - 3^x) = log(0)$ il logaritmo di 0 non esiste, $2^x = 3^x$ ha soluzione. Anche la seconda è confutabile, se ci pensi bene è possibile costruire una retta (quindi equazione di primo grado) che interseca la curva del logaritmo in due punti (basta ad esempio trovare la tangente in un dato punto e poi considerare una parallela con termine noto minore).
"cestra":
Determinare il numero dei zeri della funzione
$f(x) = x^2-e^x$
Puoi risolvere un esercizio del genere studiando la crescenza e la decrescenza della funzione.
Se ad esempio la funzione è definita in tutto $RR$ e vedi che è sempre crescente o sempre decrescente, basta calcolare i limiti della funzione a $+infty$ e $-infty$. Se entrambi i limiti hanno segno concorde vuol dire che non ci sono intersezioni con gli assi e quindi zeri della funzione..
Se invece hanno segno discorde vuol dire che c'è un unico zero!
1)
Si determina il numero di soluzioni del'equazione
$3^x+4^x+5^x=6^x$
dividendo tutto per $5^x$ si ottiene $(3/5)^x+(4/5)^x+1=(6/5)^x$
il primo membro è decrescente in quanto somma di esponenziali con base minore di 1 e una costante, il secondo membro è sempre crescente in quanto esponenziale con base maggiore di 1, inoltre per $x ->-oo$ il primo membro tende a $+oo$ e il secondo a 0, mentre per $x ->+oo$ il primo membro tende a 1 e il secondo a $+oo$, significa che tra $-oo$ e $+oo$ si incontrano, ma una volta sola in quanto i due membri sono monotoni ma in modo opposto, detto tra noi l'unica soluzione è 3.
qui hai messo un errore perchè portando l'esponente della x davanti al logaritmo l'argomento resta in valore assoluto, quindi $e^(2log|x|)=e^x$ e poi
$2log|x|=x$ e qui servono i grafici delle due funzioni $y=2log|x|$ e $y=x$, dal grafico si deduce che c'è una sola soluzione compresa tra -1 e 1
Oppure puoi sfruttare anche qui le proprietà della monotonia
Si determina il numero di soluzioni del'equazione
$3^x+4^x+5^x=6^x$
dividendo tutto per $5^x$ si ottiene $(3/5)^x+(4/5)^x+1=(6/5)^x$
il primo membro è decrescente in quanto somma di esponenziali con base minore di 1 e una costante, il secondo membro è sempre crescente in quanto esponenziale con base maggiore di 1, inoltre per $x ->-oo$ il primo membro tende a $+oo$ e il secondo a 0, mentre per $x ->+oo$ il primo membro tende a 1 e il secondo a $+oo$, significa che tra $-oo$ e $+oo$ si incontrano, ma una volta sola in quanto i due membri sono monotoni ma in modo opposto, detto tra noi l'unica soluzione è 3.
"cestra":
2)
Determinare il numero dei zeri della funzione
$f(x) = x^2-e^x$
Io ho imposto $x^2-e^x=0$ e poi ho trasformato $e^(2log(x))=e^x$
qui hai messo un errore perchè portando l'esponente della x davanti al logaritmo l'argomento resta in valore assoluto, quindi $e^(2log|x|)=e^x$ e poi
$2log|x|=x$ e qui servono i grafici delle due funzioni $y=2log|x|$ e $y=x$, dal grafico si deduce che c'è una sola soluzione compresa tra -1 e 1
Oppure puoi sfruttare anche qui le proprietà della monotonia
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