[INFO] E. Giusti Analisi 2?
Sto studiando analisi 2 sul Giusti... ma non mi e' chiara una cosa.
Lui parte subito con il calcolo differenziale in due variabili. La continuita' (con relativi teoremi, es. Weierstrass) e i limiti in _piu'_ variabili li tratta nel primo volume, o non li tratta proprio?
(Per analisi 1 ho usato l'Apostol...)
Lui parte subito con il calcolo differenziale in due variabili. La continuita' (con relativi teoremi, es. Weierstrass) e i limiti in _piu'_ variabili li tratta nel primo volume, o non li tratta proprio?
(Per analisi 1 ho usato l'Apostol...)
Risposte
Nel primo volume mi pare che tratti solo il calcolo in una variabile reale.
Ma allora non capisco se i teoremi sulla continuita'(valor-medio, valori estremi (max min), ecc) per funzioni $RR^n -> RR$ sono dimostrabili solo come casi particolari dei concetti topologici di continuita', compattezza, oppure ci si puo' arrivare anche dalla definizione di limite in piu' variabili.
Pero' nel primo caso avrebbe senso non inserire le dimostrazioni in un testo di analisi 2...
Pero' nel primo caso avrebbe senso non inserire le dimostrazioni in un testo di analisi 2...
No, ci si arriva anche partendo dalla definizione di limite ovviamente.
Questa e' l'idea che mi e' venuta ricalcando le orme di come sul Giusti e' trattata la derivata direzionale, spero di non dire troppe idiozie:
Considero $f:R^n->R$, $x,x_{0}in RR^n$ e $lim_{x->x_0}f(x) = L$. Per semplicita' consideriamo $L$ finito.
Per la definizione di limite sappiamo che $f(x)->L$ indipendentemente dalla direzione con cui $x->x_{0}$, dunque:
$forall v in RR^n$ tale che $||v||=1$ se poniamo $x = x_{0} + tv$ con $t in RR$
abbiamo che, quando $x->x_{0}$, $tv->0$ dunque $t->0$, quindi $lim_{t->0}f(x_{0} + tv) = L$
Ma se considero $f(x_{0} + tv)$, ho una funzione in una variabile a cui posso applicare i teoremi sui limiti e sulla continuita'. Poi si dovrebbe chiarire che, al variare di $v$, un intorno di $t$ equivale ad un intorno circolare di $x_{0}$, e quindi avvicinandomi da ogni direzione ..., ecc ecc
Puo' essere una strada percorribile?
(Scusate per l' off topic)
Considero $f:R^n->R$, $x,x_{0}in RR^n$ e $lim_{x->x_0}f(x) = L$. Per semplicita' consideriamo $L$ finito.
Per la definizione di limite sappiamo che $f(x)->L$ indipendentemente dalla direzione con cui $x->x_{0}$, dunque:
$forall v in RR^n$ tale che $||v||=1$ se poniamo $x = x_{0} + tv$ con $t in RR$
abbiamo che, quando $x->x_{0}$, $tv->0$ dunque $t->0$, quindi $lim_{t->0}f(x_{0} + tv) = L$
Ma se considero $f(x_{0} + tv)$, ho una funzione in una variabile a cui posso applicare i teoremi sui limiti e sulla continuita'. Poi si dovrebbe chiarire che, al variare di $v$, un intorno di $t$ equivale ad un intorno circolare di $x_{0}$, e quindi avvicinandomi da ogni direzione ..., ecc ecc
Puo' essere una strada percorribile?
(Scusate per l' off topic)
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