Infinito di ordine superiore

[rikideveloper]

Salve sto preparando l'esame di analisi 1, ed ho un problema nel capire un conto fatto in un esercizio:

Consegna Eserczio: n! è un infinito di ordine superiore o inferiore a $ n^n $ ?

La soluzione del''esercizio dice:
consideriamo la successione $ n^n/(n!) $ e calcoliamo il $ lim
n->prop (n^n/(n!)) $

dopo utilizza il criterio del rapporto:
e calcola il limite:

$ lim
n->prop ((an+1)/(an)) $

poi fa i conti:

$ (n+1)^(n+1)/((n+1)!)*((n!)/n)=(n+1)^(n+1)/((n+1)n!)*((n!)/n) $

quello che non ho capito è in questo conto, non capisco da dove salti fuori nell'ultima uguaglianza quel
n tra il fattoriale e la parentesi a denominatore!

[wanderer1]

Ciao,
nell'ultima uguaglianza scompone semplicemente $(n+1)!$ in $(n+1) * n!$ per la definizione di fattoriale

[Raptorista1]

Una dimostrazione più immediata si ottiene osservando che
\[
\frac{n^n}{n!} = \frac{n}{n} \cdot \frac{n}{n-1} \cdots \frac{n}{2} \cdot \frac{n}{1}
\]
è il prodotto di fattori tutti maggiori o uguali a \(1\), con gli ultimi che divergono.