Infiniti punti critici funzione 2 variabili
Salve a tutti, mi ritrovo con questa funzione
$$f(x,y) = x^2 (x-y)^3$$
e mi viene chiesto di stabilire se i suoi infiniti punti critici sono di sella, di massimo, di minimo, o di tutti e tre i tipi. Andando a studiare il gradiente della funzione, dopo vari calcoli che non sto qui a scrivere risulta che i punti critici sono tutti i punti giacenti sulla retta di equazione $y=x$. Andando poi a calcolare la matrice Hessiana nel punto generico $(x,x)$, il risultato è una matrice nulla. Procedo quindi con lo studio del segno della funzione ottenuta come:
$$f(x,y) = f(x,y) - f(x,x)$$
con $f(x,x) = 0$. Ottengo quindi:
$$x^2 (x-y)^3\geq 0$$
che svolta mi da come risultato $x\geq y$. Quindi andando a disegnare nel piano $xy$ la retta $y=x$ e la positività della funzione, il risultato che ottengo mi farebbe pensare che gli infiniti punti critici sulla retta $y=x$ sono tutti punti di sella, in quanto in ogni intorno di qualunque punto della retta, la funzione assume sia valori positivi che negativi. Invece il risultato (secondo quanto detto dalla mia professoressa) è che la funzione abbia infiniti punti di massimo, di minimo e di sella. Questo non mi è assolutamente chiaro. Potreste gentilmente spiegarmi il motivo? Grazie mille.
$$f(x,y) = x^2 (x-y)^3$$
e mi viene chiesto di stabilire se i suoi infiniti punti critici sono di sella, di massimo, di minimo, o di tutti e tre i tipi. Andando a studiare il gradiente della funzione, dopo vari calcoli che non sto qui a scrivere risulta che i punti critici sono tutti i punti giacenti sulla retta di equazione $y=x$. Andando poi a calcolare la matrice Hessiana nel punto generico $(x,x)$, il risultato è una matrice nulla. Procedo quindi con lo studio del segno della funzione ottenuta come:
$$f(x,y) = f(x,y) - f(x,x)$$
con $f(x,x) = 0$. Ottengo quindi:
$$x^2 (x-y)^3\geq 0$$
che svolta mi da come risultato $x\geq y$. Quindi andando a disegnare nel piano $xy$ la retta $y=x$ e la positività della funzione, il risultato che ottengo mi farebbe pensare che gli infiniti punti critici sulla retta $y=x$ sono tutti punti di sella, in quanto in ogni intorno di qualunque punto della retta, la funzione assume sia valori positivi che negativi. Invece il risultato (secondo quanto detto dalla mia professoressa) è che la funzione abbia infiniti punti di massimo, di minimo e di sella. Questo non mi è assolutamente chiaro. Potreste gentilmente spiegarmi il motivo? Grazie mille.
Risposte
Benvenuto Frigorifero!!
Non ti è chiaro perché non è vero. Le tue considerazioni sono esatte, quindi o si è sbagliata, o c'è un errore nel testo, oppure chissà cosa intendeva, il mio consiglio è di chiedere alla tua professoressa.
Non ti è chiaro perché non è vero. Le tue considerazioni sono esatte, quindi o si è sbagliata, o c'è un errore nel testo, oppure chissà cosa intendeva, il mio consiglio è di chiedere alla tua professoressa.
Il punto è che questo quesito era a risposta multipla con le opzioni che ho elencato all'inizio, all'interno di un tema d'esame. Chiederò spiegazioni alla professoressa.
Sei sicuro che i punti critici siano sono quelli? Facendo due calcoli veloci a mente mi è venuto che sono critici anche tutti i punti dell'asse delle y (verificalo!), e direi che per gli y positivi siano punti di minimo, mentre per y negativi punti di massimo, così sarebbe spiegata la soluzione della tua prof.
"otta96":
Sei sicuro che i punti critici siano sono quelli? Facendo due calcoli veloci a mente mi è venuto che sono critici anche tutti i punti dell'asse delle y (verificalo!), e direi che per gli y positivi siano punti di minimo, mentre per y negativi punti di massimo, così sarebbe spiegata la soluzione della tua prof.
Ma no scusa il gradiente è $\nabla f=(x^2(x-y)^2(5x-2y) , -3(x-y)^2)$ quindi per essere uguale al vettore nullo l'unica soluzione è $y=x$. Anche i professori sbagliano(e spesso) non è che bisogna giustificare le loro affermazioni ad ogni costo.
Ma nella $f_y$ il termine $x^2$ dove finisce?
Ahahhaha che totano che sono hai ragione $f_y=-3x^2(x-y)^2$ !!! ci sono anche tutti i punti critici $(0,y)$ scusa Frigorifero ha ragione otta96, la tua prof diceva il vero!
Comunque sono d'accordo con l'ultima frase del tuo penultimo post.
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