Infiniti e infinitesimi.
Buongiorno,
Sto rileggendo la teoria dei limiti, precisamente riguardante il paragrafo : Infiniti e infinitesimi.
Mi sono inceppato sul punto seguente :
Prop.
Sia $ a in mathbb{R} $ e $a \ne 1 $
La funzione logaritmico $log_a$ è un infinito in $0$ (da destra) di ordine arbitrariamente piccolo.
Ora sul libro seguono le testuali parole :
La dimostrazione non viene trattata a questo punto in quanto sarà un immediata conseguenza della regola di L'Hopital.
Utilizzando tale regola, infatti, si ottiene $ forall a in mathbb{R_+}$
$lim_{x to 0^+} frac{log_a x}{frac{1}{x^alpha}}=lim_{x to 0^+} frac{1}{xloga}frac{1}{frac{-alpha}{x^{alpha+1}}}=-frac{1}{alphaloga}lim_{x to 0^+} x^alpha=0$.
L'enunciato della proposizione mi è chiaro, il mio problema è solo sulla seconda uguaglianza letta da sinistra.
Cordiali saluti.
Sto rileggendo la teoria dei limiti, precisamente riguardante il paragrafo : Infiniti e infinitesimi.
Mi sono inceppato sul punto seguente :
Prop.
Sia $ a in mathbb{R} $ e $a \ne 1 $
La funzione logaritmico $log_a$ è un infinito in $0$ (da destra) di ordine arbitrariamente piccolo.
Ora sul libro seguono le testuali parole :
La dimostrazione non viene trattata a questo punto in quanto sarà un immediata conseguenza della regola di L'Hopital.
Utilizzando tale regola, infatti, si ottiene $ forall a in mathbb{R_+}$
$lim_{x to 0^+} frac{log_a x}{frac{1}{x^alpha}}=lim_{x to 0^+} frac{1}{xloga}frac{1}{frac{-alpha}{x^{alpha+1}}}=-frac{1}{alphaloga}lim_{x to 0^+} x^alpha=0$.
L'enunciato della proposizione mi è chiaro, il mio problema è solo sulla seconda uguaglianza letta da sinistra.
Cordiali saluti.
Risposte
Cosa non capisci? E' solo algebretta: hai usato la linearità del limite e hai usato che $1/(1/t) = t$.
Il primo fattore, nella seconda uguaglianza.
Aspetta che se no mi cazziano se ti rispondo male.
Ciò che non capisci è una elementare conseguenza del fatto che l'inversione \((-)^{-1}\colon M\to M\) in un monoide è una involuzione, ossia $1/(1/t)=t$ per ogni $t\in M$, e del fatto che il limite, come operazione $RR^I \to RR$, è lineare.
Ciò che non capisci è una elementare conseguenza del fatto che l'inversione \((-)^{-1}\colon M\to M\) in un monoide è una involuzione, ossia $1/(1/t)=t$ per ogni $t\in M$, e del fatto che il limite, come operazione $RR^I \to RR$, è lineare.
"galles90":
Il primo fattore, nella seconda uguaglianza.
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\textcolor{green}{x}\textcolor{red}{\log a}}\frac{1}{\frac{\textcolor{\red}{-\alpha}}{\textcolor{green}{x^{\alpha+1}}}}=\textcolor{red}{-\frac{1}{\alpha\log a}}\lim_{x \to 0^+} x^\alpha=0
\]
le cose in rosso sono numeri reali; escono dal limite. La cosa in verde fa ovviamente $1/x^\alpha$; ora chi è l'inverso di un inverso?
Come fai a invertire le cose in un monoide?
Beh, qualcosa sarà pur invertibile, inverti quello; il fatto che l'inversione sia una funzione parziale non le impedisce di essere un'involuzione.
Ma cosa intendi con involuzione? Una funzione idempotente? E poi non mi torna questa frase:
"killing_buddha":, non volevi forse dire "il fatto che l'inversione SIA una funzione parziale" oppure "il fatto che l'inversione non sia una funzione totale"?
il fatto che l'inversione non sia una funzione parziale
"otta96":
Ma cosa intendi con involuzione? Una funzione idempotente?
No, una funzione idempotente è tale che $s^2=s$; una involuzione è tale che $s^2=1$. E nessun idempotente può essere invertibile, senza essere già 1.
"killing_buddha":
il fatto che l'inversione non sia una funzione parziale
Sì, c'è un "non" di troppo. Coi colori hai capito, comunque?
Comunque ho risolto, vi ringrazio.
Buona domenica.
Buona domenica.
[ot]Nel caso di funzioni con $s^2$ intendi $s \circ s$? E con $1$ la funzione identità?[/ot]
Sì esattamente
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