Infinitesimo della superficie della sfera
$ds=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi
dove $\theta$ e $\phi$ sono i classici angoli delle coordinate sferiche.
Concettualmente ci sono perché è così il $ds$... però vorrei la dimostrazione per vedere come ci si arriva
Qualcuno mi può aiutare?
Poi definendo il $d\Omega=sin\theta d\theta d\phi
$int_0^(2pi) int_0^(pi) sin\theta d\thetad\phi=int_0^(4pi) d\Omega
Potreste spiegarmi come funziona il cambio di variabile per questo genere di integrali?
Ad ingegneria siam sempre stati "molto" monodimensionali!
dove $\theta$ e $\phi$ sono i classici angoli delle coordinate sferiche.
Concettualmente ci sono perché è così il $ds$... però vorrei la dimostrazione per vedere come ci si arriva
Qualcuno mi può aiutare?
Poi definendo il $d\Omega=sin\theta d\theta d\phi
$int_0^(2pi) int_0^(pi) sin\theta d\thetad\phi=int_0^(4pi) d\Omega
Potreste spiegarmi come funziona il cambio di variabile per questo genere di integrali?
Ad ingegneria siam sempre stati "molto" monodimensionali!
Risposte
"AMs":
$ds=r^2 sin(\theta) d\theta d\phi
dove $\theta$ e $\phi$ sono i classici angoli delle coordinate sferiche.
Concettualmente ci sono perché è così il $ds$... però vorrei la dimostrazione per vedere come ci si arriva
Qualcuno mi può aiutare?
Beh, la quantità $r^2*sintheta$ è lo jacobiano della trasformazione da cordinate polari a cartesiane.
"AMs":
Poi definendo il $d\Omega=sin\theta d\theta d\phi
$int_0^(2pi) int_0^(pi) sin\theta d\thetad\phi=int_0^(4pi) d\Omega
Potreste spiegarmi come funziona il cambio di variabile per questo genere di integrali?
Ad ingegneria siam sempre stati "molto" monodimensionali!
La quantità $sintheta$ è il modulo del vettore normale indotto dalla r.p. in coordinate cartesiane della superficie sferica unitaria: ne viene che $sintheta " d"theta " d"phi$ è l'elemento infinitesimo $"d"Omega$ della superficie sferica unitaria. Dato che l'area della superficie sferica unitaria è, per noti fatti di Geometria elementare, uguale a $4pi$ e che si può ottendere come integrale dell'elemento infinitesimo della superficie su un intervallo d'ampiezza $4pi$ hai:
$4pi=int_0^(2pi) int_0^(pi) sin\theta " d"theta" d"phi=int_0^(4pi) " d"Omega$.
Poco rigorosa come spiegazione, ma può funzionare se ti accontenti.
Ma sì dai, mi accontento, anche perché noi ingegneri (o aspiranti tali) ci mancano grosse basi matematiche.
Cmq sfogliando un po' di libri finalmente li ho trovati questi integrali di superficie!
come dicevi pongo la trasformazione:
$\{(x=rsin\thetacos\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\theta):}, \theta in [0,pi] \phi in [0,2pi]
e poi l'integrale di superficie diventa
$intint_s sqrt(A^2+B^2+C^2) d\theta d\phi
dove A,B,C sono i determinanti delle sottomatrici 2x2 del Jacobiano.
E' questo il metodo che intendevi?
Cmq sfogliando un po' di libri finalmente li ho trovati questi integrali di superficie!
come dicevi pongo la trasformazione:
$\{(x=rsin\thetacos\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\theta):}, \theta in [0,pi] \phi in [0,2pi]
e poi l'integrale di superficie diventa
$intint_s sqrt(A^2+B^2+C^2) d\theta d\phi
dove A,B,C sono i determinanti delle sottomatrici 2x2 del Jacobiano.
E' questo il metodo che intendevi?
"AMs":
Ma sì dai, mi accontento, anche perché noi ingegneri (o aspiranti tali) ci mancano grosse basi matematiche.
Cmq sfogliando un po' di libri finalmente li ho trovati questi integrali di superficie!
come dicevi pongo la trasformazione:
$\{(x=rsin\thetacos\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\theta):}, \theta in [0,pi] \phi in [0,2pi]
e poi l'integrale di superficie diventa
$intint_s sqrt(A^2+B^2+C^2) d\theta d\phi
dove A,B,C sono i determinanti delle sottomatrici 2x2 del Jacobiano.
E' questo il metodo che intendevi?
Quella scritta da te è la rappresentazione parametrica polare della superficie sferica $\partial B(0;r)$ (ossia della frontiera della sfera di raggio $r$); in generale, la superficie sferica $\partial B(xi;r)$ di centro $xi=(x_0,y_0,z_0)$ e raggio $r>0$ si può rappresentare come segue:
$\{(x=x_0+rsin theta*cos phi),(y=y_0+rsin theta*sin phi),(z=z_0+rcos theta):} , quad theta in [0,pi] phi in [0,2pi]$.
Chiamiamo $X(theta,phi)$ la r.p. da te scritta e deriviamola rispetto a $theta$ e $phi$:
$(\partial X)/(\partial theta)=(r cos theta*cos phi, r cos theta*sin phi, -r sin theta)$
$(\partial X)/(\partial phi)=(-r sin theta*sin phi, r sin theta*cos phi, 0)$
e questi due vettori (per fissati $theta,phi$) costituiscono una base del piano tangente alla superficie nel punto $X(theta, phi)$; per definizione il vettore $N(theta, phi)$ normale alla superficie nel punto $X(theta, phi)$ determinato dalla r.p. scelta è quello normale al piano tangente in $X(theta,phi)$: per fatti di Geometria, tale vettore coincide col prodotto vettoriale $(\partial X)/(\partial theta) times (\partial X)/(\partial phi)$, perciò:
$N(theta, phi)=(|(r cos theta*sin phi, -r sin theta),(r sin theta*cos phi, 0)|,-|(r cos theta*cos phi, -r sin theta),(-r sin theta*sin phi, 0)|,|(r cos theta*cos phi, r cos theta*sin phi),(-r sin theta*sin phi, r sin theta*cos phi)|)=(-r^2sin^2 theta*cos phi, -r^2sin^2 theta*sin phi, r^2sin theta*cos theta)$
e questo vettore normale ha lunghezza:
$|N(theta,phi)|=r^2*sqrt((sin^2 theta*cos phi)^2+(sin^2 theta*sin phi)^2+(sin theta*cos theta)^2)=r^2*sqrt(sin^4 theta+sin^2 theta*cos^2theta)=r^2sin theta$.
Nota che i due vettori $(\partial X)/(\partial theta), (\partial X)/(\partial phi)$ non dipendono dal centro della sfera, cosicchè le normali $N(theta, phi)$ alla superficie sferica sono invarianti per traslazioni.
Dalla teoria dell'integrazione sai che se $f:\partial B(0;r) to RR$ è continua, allora essa è pure integrabile sulla superficie sferica e si ha:
$\int_(\partial B(0;r)) f " d"S=\int_0^(2 pi)\int_0^pi f(X(theta, phi))*|N(theta, phi)|" d"theta " d"phi=\int_0^(2 pi)\int_0^pi f(X(theta, phi))*r^2sin^2 theta" d"theta " d"phi quad$;
in particolare, se prendi $f=1$ su tutta $\partial B(0;r)$, allora il primo integrale della precedente catena d'uguaglianze ti restituisce l'area della superficie sferica, per cui hai:
(*) $quad "area"(\partial B(0;r))=\int_0^(2 pi)\int_0^pi r^2sin^2 theta" d"theta " d"phi$
quindi $r^2sin^2theta " d"theta " d"phi$ è l'elemento infinitesimo di superficie per la superficie sferica di raggio $r$ e centro in $0=(0,0,0)$. Dall'invarianza per traslazioni delle normali alla superficie sferica trai che per ogni fissato punto $xi=(x_0,y_0,z_0)$ risulta:
$"area"(\partial B(xi;r))=\int_0^(2 pi)\int_0^pi r^2sin^2 theta" d"theta " d"phi$
onde l'elemento infinitesimo di superficie per $\partial B(xi;r)$ è uguale a quello per $\partial B(0;r)$; inoltre, la formula (*) ti consente di conoscere le aree di tutte le superfici sferiche di $RR^3$.
Nota che dalla (*) segue pure che:
$"area"(\partial B(0;r))=r^2*\int_0^(2 pi)\int_0^pi sin^2 theta" d"theta " d"phi=r^2*\int_0^(2 pi)\int_0^pi sin^2 theta" d"theta " d"phi=r^2*"area"(\partial B(0;1))$
cosicchè gli elementi infinitesimi della superficie sferica di raggio $r$ e quello della superficie sferica di raggio unitario (ossia $sin^2theta$) differiscono unicamente per il fattore di scala $r^2$. Ne consegue che per conoscere l'area di tutte le superfici sferiche di $RR^3$ occorre e basta conoscere quella della superficie sferica unitaria $\partial B(0;1)$.
Spero di essermi spiegato meglio stavolta.
perfetto!!! Non potrei chiedere di meglio!!
Grazie Mille!!
Grazie Mille!!
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