Infinitesimi4

[Sk_Anonymous]

determinare l'ordine di infinito/infinitesimo della seguente funzione per $x->+oo, a in RR\\{2}$
$f(x)=(1+x^a)(1-cos(1/x))
$f(x)=(1+x^a)/(2x^2)(1+o(1))=(1/(2x^2)+1/2x^(a-2))(1+o(1))
$a-2>0hArra>2rArr f(x)$ infinito di ordine $a-2$
$a-2<0hArra<2
$f(x)=(1/(2x^2)+1/(2x^(2-a)))(1+o(1))=1/(2x^2)+1/(2x^(2-a))+o(1/x^2)+o(1/x^(2-a))
ora dalla regola $o(x^alpha)+o(x^beta)=o(x^sigma); sigma=min{alpha,beta}
risulta se $a<0, o(1/x^2)+o(1/x^(2-a))=o(1/x^(2-a))
$f(x)=1/(x^(2-a))(1+o(1)) rArr$ infinitesimo di ordine $2-a
e se $a in (0,2)
$f(x)=1/x^2(1+o(1)) rArr$ infinitesimo di ordine 2

dove sbaglio?

[fireball1]

Sia $a<2$; allora $f(x)=1/(2x^2) + 1/(2x^(2-a)) + o(1/x^2) + o(1/(x^(2-a)))
per $x->+oo$. Allora vediamo subito
che se $a=0$, $f(x)$ è un
infinitesimo di ordine 2 per $x->+oo$.
Se $2-a<2 <=> a > 0$ l'ordine di infinitesimo è $2-a$
essendo per le regole che tu dici $f(x)=1/(2x^(2-a)) (1 +o(1))$ per $x->+oo$.
Infine, se $2-a>2<=> a < 0$ l'ordine di infinitesimo è 2
in quanto $o(1/x^2)$ ingloba anche $1/(2x^(2-a))$ e ovviamente
anche $o(1/(2x^(2-a)))$, per cui in questo caso, per $x->+oo$:
$f(x)=1/(2x^2) (1 + o(1))$ da cui $f$ è infinitesima di ordine 2.

[Sk_Anonymous]

effettivamente, correggimi se sbaglio, la scrittura
$o(x^alpha)+o(x^beta)=o(x^sigma);sigma=min{alpha,beta}$ è solo un formalismo e significa "=la funzione che tende a zero più lentamente"
ad esempio $lim_(x->+oo)(1/x^2)/(1/x)=0$ ed $o(1/x^2)+o(1/x)=o(1/x)$ ma $-2<-1

e tutto mi è chiaro
resta solo il fatto che il libro dà come risposta "infinito di ordine $a-2$ se $a>2$, infinitesimo di ordine $2-a$ se $a<2$"