Infinitesimi nel caso di limite di una serie

[randomize]

Siano $a_{n,p} \in \mathbb{C}$ e $b_{n,p} \in \mathbb{C}$ due doppie successioni complesse tali che
$$
\lim_{n \to \infty}
\sum_{p=1}^n
|a_{n,p} + b_{n,p}|
=
L < \infty
$$
Vorrei sapere se è vera la seguente relazione
$$
\lim_{n \to \infty}
\left|
\dfrac{b_{n,p}}{a_{n,p}}
\right|
= 0
\Longrightarrow
\lim_{n \to \infty}
\sum_{p=1}^n
|a_{n,p} |
=
L
$$
in altre parole è come applicare il criterio di trascurare gli infinitesimi di ordine superiore, ma ha validità in questo contesto?
Grazie per qualsiasi suggerimento.

[Rigel1]

"randomize":Siano $a_{n,p} \in \mathbb{C}$ e $b_{n,p} \in \mathbb{C}$ due doppie successioni complesse tali che
$$
\lim_{n \to \infty}
\sum_{p=1}^n
|a_{n,p} + b_{n,p}|
=
L < \infty
$$
Vorrei sapere se è vera la seguente relazione
$$
\lim_{n \to \infty}
\left|
\dfrac{b_{n,p}}{a_{n,p}}
\right|
= 0
\Longrightarrow
\lim_{n \to \infty}
\sum_{p=1}^n
|a_{n,p} |
=
L
$$
in altre parole è come applicare il criterio di trascurare gli infinitesimi di ordine superiore, ma ha validità in questo contesto?
Grazie per qualsiasi suggerimento.

Senza uniformità in \(p\) nella richiesta
\[
\lim_{n \to \infty}
\left|
\dfrac{b_{n,p}}{a_{n,p}}
\right|
= 0
\]
direi che non è vero.
Considera, ad esempio, \(a_{n,p} = 1/p^2\), \(b_{n,p} = \frac{1}{n}\).

[randomize]

Grazie Rigel per il tuo contro esempio
Se ho l'ulteriore ipotesi che
$$
\lim_{n \to \infty} a_{n,p} =
\lim_{n \to \infty} b_{n,p} =
\lim_{p \to \infty} a_{n,p} =
\lim_{p \to \infty} b_{n,p} =
0
$$
in questo la relazione è vera?