Infinitesimi in fisica
Buonasera,
affrontando l'esame di fisica II, mi sono trovato a dover dimostrare la relazione tra energia e quantità di moto di un'onda elettromagnetica.
Sinceramente non so neanche io perchè, ma a un certo punto, anzichè la ben nota
F=dP/dt (legge di Newton)
ho scritto
dF=dP/dt
probabilmente, inconsapevolmente, in riferimento al fatto che una singola onda elettromagnetica comunica in ogni caso una forza infinitesima.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima, e che l'errore è dunque inammissibile.
A mio giudizio, il discorso sarebbe da approfondire: non potrei vedere dF come un infinitesimo di ordine inferiore a dP? Matematicamente infinito o infinitesimo sono sempre due concetti relativi e non assoluti, così li abbiamo sempre trattati in analisi I. Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Infine l'abuso di notazione di sicuro non facilita il discorso e senza volermi giustificare, non riesco a spiegarmi come l'errore sia stato così grave, quando in generale in fisica e in tutto il corso si è fatto un uso abbastanza libero del concetto (semplificando con molta libertà i "de" ad esempio)
Qualcuno saperebbe illuminarmi?
Magari anche più in generale su questa ''annosa questione'' della notazione e degli infinitesimi e delle derivate in fisica.
Ringrazio in anticipo
P.s. ho postato un messaggio uguale anche nella sezione fisica, vorrei avere un parere di fisici e matematici, per capire i due punti di vista sul problema. Non voglio in alcun modo otturare il forum.
affrontando l'esame di fisica II, mi sono trovato a dover dimostrare la relazione tra energia e quantità di moto di un'onda elettromagnetica.
Sinceramente non so neanche io perchè, ma a un certo punto, anzichè la ben nota
F=dP/dt (legge di Newton)
ho scritto
dF=dP/dt
probabilmente, inconsapevolmente, in riferimento al fatto che una singola onda elettromagnetica comunica in ogni caso una forza infinitesima.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima, e che l'errore è dunque inammissibile.
A mio giudizio, il discorso sarebbe da approfondire: non potrei vedere dF come un infinitesimo di ordine inferiore a dP? Matematicamente infinito o infinitesimo sono sempre due concetti relativi e non assoluti, così li abbiamo sempre trattati in analisi I. Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Infine l'abuso di notazione di sicuro non facilita il discorso e senza volermi giustificare, non riesco a spiegarmi come l'errore sia stato così grave, quando in generale in fisica e in tutto il corso si è fatto un uso abbastanza libero del concetto (semplificando con molta libertà i "de" ad esempio)
Qualcuno saperebbe illuminarmi?
Magari anche più in generale su questa ''annosa questione'' della notazione e degli infinitesimi e delle derivate in fisica.
Ringrazio in anticipo
P.s. ho postato un messaggio uguale anche nella sezione fisica, vorrei avere un parere di fisici e matematici, per capire i due punti di vista sul problema. Non voglio in alcun modo otturare il forum.
Risposte
Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.
Gli infinitesimi sono lo scheletro nell'armadio dei corsi di fisica generale. E' una questione spinosa, che personalmente non pretendo di poter spiegare in modo esaustivo. Comunque la cosa da tener presente è che il concetto di infinitesimo in analisi ha un'accezione completamente diversa, che sicuramente conosci (funzione che tende a zero nel passaggio ad un certo limite).
L'infinitesimo dei fisici non esiste in analisi, perché si dimostra che \[\displaystyle |x|<\epsilon \quad \forall \epsilon>0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \] Inoltre il genere di semplificazioni di cui parli in analisi non ha alcun senso, in quanto \[\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}=f'(x):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] e quindi come vedi non c'è niente da "semplificare".
Esiste tuttavia una formulazione alternativa nella cosiddetta analisi non standard che formalizza il concetto di infinitesimo e lo rende rigoroso. Siccome non ne so praticamente niente però, evito di parlartene.
L'infinitesimo dei fisici non esiste in analisi, perché si dimostra che \[\displaystyle |x|<\epsilon \quad \forall \epsilon>0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \] Inoltre il genere di semplificazioni di cui parli in analisi non ha alcun senso, in quanto \[\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}=f'(x):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] e quindi come vedi non c'è niente da "semplificare".
Esiste tuttavia una formulazione alternativa nella cosiddetta analisi non standard che formalizza il concetto di infinitesimo e lo rende rigoroso. Siccome non ne so praticamente niente però, evito di parlartene.
@Weierstress
[ot]Belli gli iperreali
[/ot]
Cordialmente, Alex
[ot]Belli gli iperreali
[/ot]Cordialmente, Alex
@weierstrass
"Weierstress":
Gli infinitesimi sono lo scheletro nell'armadio dei corsi di fisica generale. E' una questione spinosa, che personalmente non pretendo di poter spiegare in modo esaustivo. Comunque la cosa da tener presente è che il concetto di infinitesimo in analisi ha un'accezione completamente diversa, che sicuramente conosci (funzione che tende a zero nel passaggio ad un certo limite).
L'infinitesimo dei fisici non esiste in analisi, perché si dimostra che \[\displaystyle |x|<\epsilon \quad \forall \epsilon>0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \] Inoltre il genere di semplificazioni di cui parli in analisi non ha alcun senso, in quanto \[\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}=f'(x):=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] e quindi come vedi non c'è niente da "semplificare".
Esiste tuttavia una formulazione alternativa nella cosiddetta analisi non standard che formalizza il concetto di infinitesimo e lo rende rigoroso. Siccome non ne so praticamente niente però, evito di parlartene.
Grazie mille, ora riesco a capire meglio, anche io ho sentito parlare di formalismi che fondano matematicamente il concetto, ma non si accenna mai e rimane tutto un po' vago
"dissonance":
Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.
Il tuo punto di vista non è costruttivo. Se chiedo un chiarimento, è evidente che ho delle incertezze, se tu rispondi dovresti aiutare a superarle. Potresti giustificare meglio ciò che hai detto, magari producendo tu un esempio?
In più una volta appurato perchè fisicamente l'espressione è priva di senso, nella domanda io ti chiedo perchè è priva di senso matematicamente, che è ciò che mi è stato detto.
"frabi":
...
[quote="dissonance"]Il professore ha ragione. Invece di tante parole, prova a produrre un esempio concreto. Prendi un campo di forze e scrivi l'equazione che tu suggerisci, vedrai come trovi una cosa priva di senso.
Il tuo punto di vista non è costruttivo. Se chiedo un chiarimento, e evidente che ho delle incertezze, se tu rispondi dovresti aiutare a superarle. Potresti giustificare meglio ciò che hai detto, magari producendo tu un esempio?[/quote]
Non mi interessa il tema specifico di questo post (anche se la scimmia rossiccia si sta agitando), ma condivido completamente e sentitamente il commento di dissonance. Se uno non impara a farsi lui da solo gli esempi e i controesempi non imparerà mai. Sarà un pelino faticoso all'inizio, ma poi darà grandi soddisfazioni. Su, un piccolo sforzo!
Grazie Fioravante, ne approfitto per salutarti, fa sempre piacere ritrovarti e rileggerti.
@frabi: prova a considerare l'esempio più semplice, il campo gravitazionale \(\mathbf F = m\mathbf g\), dove \(\mathbf g\) è un vettore costante. Supponendo che sia \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}\), che equazioni del moto si otterrebbero?
NOTA A MARGINE:
I miei commenti sullo stile di quello del mio post precedente sono delle esortazioni a tacere e calcolare, nel senso di questo bellissimo consiglio a chi inizia con la matematica, che condivido appieno.
@frabi: prova a considerare l'esempio più semplice, il campo gravitazionale \(\mathbf F = m\mathbf g\), dove \(\mathbf g\) è un vettore costante. Supponendo che sia \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}\), che equazioni del moto si otterrebbero?
NOTA A MARGINE:
I miei commenti sullo stile di quello del mio post precedente sono delle esortazioni a tacere e calcolare, nel senso di questo bellissimo consiglio a chi inizia con la matematica, che condivido appieno.
"dissonance":
Grazie Fioravante, ne approfitto per salutarti, fa sempre piacere ritrovarti e rileggerti.
@frabi: prova a considerare l'esempio più semplice, il campo gravitazionale \(\mathbf F = m\mathbf g\), dove \(\mathbf g\) è un vettore costante. Supponendo che sia \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf p}{dt}\), che equazioni del moto si otterrebbero?
NOTA A MARGINE:
I miei commenti sullo stile di quello del mio post precedente sono delle esortazioni a tacere e calcolare, nel senso di questo bellissimo consiglio a chi inizia con la matematica, che condivido appieno.
Ti ringrazio di avermi fornito un punto di partenza, probabilmente il mio errore è stato scrivere dF pensando a una quantità piccola, come a volte si scrive dm o dq, penso che però sia un problema legato più alla notazione che al significato. Approfondirò.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima
In analisi non standard una scrittura come \(\frac{dF}{dt}\) si interpreta come una frazione a patto che \(F\) sia una funzione di \(t\) e che \(dF\) venga inteso come \(F(t+dt)-F(t)\) per lo stesso incremento \(dt\in {}^*\mathbb R\) per cui si sta dividendo. (Sto scegliendo un ultrafiltro rispetto al quale si può costruire un ampliamento non standard di \(\mathbb N\), e quindi dei sistemi numerici derivati.) Questa è parte della "definizione" di derivata non standard; ma ora il rapporto tra queste due quantità è finito perché, per definizione \(\frac{dF}{dt}\) è la parte standard del rapporto \(\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}\).
Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Questo è verissimo; sebbene mi unisca al coro degli altri dicendoti che dovresti "tacere e calcolare", ti invito comunque a restare informato rispetto all'argomento e a non fidarti di chi cerca di ridurre l'analisi non standard ad un insieme di teoremi che arrivano "poco più in là" dell'analisi classica. Ai miei occhi è un modo molto convincente di formalizzare i passaggi al limite semi-magici che fanno i fisici, e il loro uso sportivo della notazione frazionaria per le derivate. Ti consiglio anche di familiarizzare con la geometria differenziale sintetica, che si può riassumere come "ciò che succede quando con quell'analisi tenti di fare geometria".
"killing_buddha":Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima
In analisi non standard una scrittura come \(\frac{dF}{dt}\) si interpreta come una frazione a patto che \(F\) sia una funzione di \(t\) e che \(dF\) venga inteso come \(F(t+dt)-F(t)\) per lo stesso incremento \(dt\in {}^*\mathbb R\) per cui si sta dividendo. (Sto scegliendo un ultrafiltro rispetto al quale si può costruire un ampliamento non standard di \(\mathbb N\), e quindi dei sistemi numerici derivati.) Questa è parte della "definizione" di derivata non standard; ma ora il rapporto tra queste due quantità è finito perché, per definizione \(\frac{dF}{dt}\) è la parte standard del rapporto \(\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}\).
Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Questo è verissimo; sebbene mi unisca al coro degli altri dicendoti che dovresti "tacere e calcolare", ti invito comunque a restare informato rispetto all'argomento e a non fidarti di chi cerca di ridurre l'analisi non standard ad un insieme di teoremi che arrivano "poco più in là" dell'analisi classica. Ai miei occhi è un modo molto convincente di formalizzare i passaggi al limite semi-magici che fanno i fisici, e il loro uso sportivo della notazione frazionaria per le derivate. Ti consiglio anche di familiarizzare con la geometria differenziale sintetica, che si può riassumere come "ciò che succede quando con quell'analisi tenti di fare geometria".
Grazie mille, penso che la tua risposta sia molto completa, seguo un corso di studi abbastanza bilanciato tra matematica e fisica, per cui sono strumenti che dovrò acquisire.
Ti pongo un quesito, con meno parole e calcolando di piu, che potrebbe chiarire il mio flusso logico
Consideriamo un campo elettrico E
Una carica dq ( pensiamo ad esempio all'infinitesima parte di un corpo esteso)
Essa subisce:
dF=E dq
(dove F è la forza che agisce su tutto il corpo)
non dovrei secondo l'equazione cardinale poter comunque scrivere questa forza infinitesima in termini di quantità di moto?
È su questo tipo di problema concettuale che sono bloccato, quale è la fallacia ?
per cui sono strumenti che dovrò acquisire.Non penso che ti servirà a molto approfondire queste cose, adesso. In fisica si fanno passaggi che, semplicemente, non sono rigorosi. Cercare di renderli rigorosi è una impresa titanica e non è quello che ti è richiesto. (Mi piace molto come questo fatto è spiegato da Folland nel suo libro Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians. Leggere da "This is a good place..." fino a "I just told you").
In ogni caso, non hai completato il calcolo del mio post precedente. Ti dispiace farlo? E' molto semplice.
Mathematicians are trained to think that all mathematical objects should be realized in some specific way as sets.
Falso. Semmai mathematicians are trained to think that all mathematical objects should be defined via, and constructed in order to satisfy, a universal property. Questo sì che è attinente alla realtà di come una porzione consistente della matematica viene fatta, e soprattutto slega la definizione da qualsiasi incarnazione insiemistica (\(\bf Set\) è solo uno dei tanti topos possibili). E... \(\mathfrak{so}(3)\) è lo spazio tangente all'identità di $SO(3)$.
Dimenticavo la frecciata che devo inserire obbligatoriamente: sono gli analisti, a pensare che tutte le cose siano insiemi 
"dissonance":per cui sono strumenti che dovrò acquisire.Non penso che ti servirà a molto approfondire queste cose, adesso. In fisica si fanno passaggi che, semplicemente, non sono rigorosi. Cercare di renderli rigorosi è una impresa titanica e non è quello che ti è richiesto. (Mi piace molto come questo fatto è spiegato da Folland nel suo libro Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians. Leggere da "This is a good place..." fino a "I just told you").
In ogni caso, non hai completato il calcolo del mio post precedente. Ti dispiace farlo? E' molto semplice.
Ho provato a fare il calcolo integrando l'espressione per arrivare alle leggi del moto ma incontro delle difficoltà, probabilmente perchè non si arriva da nessuna parte, o perchè sono ancora nuovo all'approccio taci e calcola. Però sono di indole curiosa e voglio imparare anche dagli esami andati male, come vedi.
Potresti farmi vedere come hai svolto i calcoli?
Qualsiasi sia il risultato a cui giungi, potresti aiutarmi a capire dove sta l'errore nel ragionamento sopra?
ti ringrazio per la pazienza
@killing
[ot]ti sei flippato male con la teoria delle categorie...
[/ot]
[ot]ti sei flippato male con la teoria delle categorie...
[/ot]
E' che la matematica è cambiata dal tempo in cui la studiavano i nostri nonni; ad esempio, adesso le fondazioni basate sulla teoria dei tipi abbondano e sono solide e ci si possono fare cose che 50 anni fa era difficile anche solo sognare.
@killing
[ot]Credo che la maggior attrazione che io abbia verso la matematica sia data dalla paura che ho di essa.
Sono continuamente scisso se continuare gli studi matematici alla fine della triennale, o passare al ramo statistico.
Il mio sogno sarebbe fare ricerca matematica e lavorare nei mercati finanziari, ma ho seriamente paura di non riuscirci[/ot]
[ot]Credo che la maggior attrazione che io abbia verso la matematica sia data dalla paura che ho di essa.
Sono continuamente scisso se continuare gli studi matematici alla fine della triennale, o passare al ramo statistico.
Il mio sogno sarebbe fare ricerca matematica e lavorare nei mercati finanziari, ma ho seriamente paura di non riuscirci[/ot]
@Anto,
@frabi: il campo gravitazionale è costante, quanto potrà mai valere il suo differenziale?
"dissonance":
@frabi: il campo gravitazionale è costante, quanto potrà mai valere il suo differenziale?
Se il campo è costante ad esempio nel tempo e m è costante
F è costante e allora dF/dt=0. Anche dF=0.
Quello che però io sto cercando di comunicarti, quando non calcolo, perché quando calcolo taccio, è che la notazione dF viene usata anche in casi, riferendomi al tuo esempio, come
dF=dm*g
In questo caso, come è possibile legare la forza alla variazione della quantità di moto, nel formalismo della fisica?
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