Infinitesimi in fisica
Buonasera,
affrontando l'esame di fisica II, mi sono trovato a dover dimostrare la relazione tra energia e quantità di moto di un'onda elettromagnetica.
Sinceramente non so neanche io perchè, ma a un certo punto, anzichè la ben nota
F=dP/dt (legge di Newton)
ho scritto
dF=dP/dt
probabilmente, inconsapevolmente, in riferimento al fatto che una singola onda elettromagnetica comunica in ogni caso una forza infinitesima.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima, e che l'errore è dunque inammissibile.
A mio giudizio, il discorso sarebbe da approfondire: non potrei vedere dF come un infinitesimo di ordine inferiore a dP? Matematicamente infinito o infinitesimo sono sempre due concetti relativi e non assoluti, così li abbiamo sempre trattati in analisi I. Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Infine l'abuso di notazione di sicuro non facilita il discorso e senza volermi giustificare, non riesco a spiegarmi come l'errore sia stato così grave, quando in generale in fisica e in tutto il corso si è fatto un uso abbastanza libero del concetto (semplificando con molta libertà i "de" ad esempio)
Qualcuno saperebbe illuminarmi?
Magari anche più in generale su questa ''annosa questione'' della notazione e degli infinitesimi e delle derivate in fisica.
Ringrazio in anticipo
P.s. ho postato un messaggio uguale anche nella sezione fisica, vorrei avere un parere di fisici e matematici, per capire i due punti di vista sul problema. Non voglio in alcun modo otturare il forum.
affrontando l'esame di fisica II, mi sono trovato a dover dimostrare la relazione tra energia e quantità di moto di un'onda elettromagnetica.
Sinceramente non so neanche io perchè, ma a un certo punto, anzichè la ben nota
F=dP/dt (legge di Newton)
ho scritto
dF=dP/dt
probabilmente, inconsapevolmente, in riferimento al fatto che una singola onda elettromagnetica comunica in ogni caso una forza infinitesima.
Il mio professore ha corretto molto severamente l'errore adducendo come motivazione il fatto che una quantità è finita e l'altra è infinitesima, e che l'errore è dunque inammissibile.
A mio giudizio, il discorso sarebbe da approfondire: non potrei vedere dF come un infinitesimo di ordine inferiore a dP? Matematicamente infinito o infinitesimo sono sempre due concetti relativi e non assoluti, così li abbiamo sempre trattati in analisi I. Inoltre penso che la definizione di infinitesimo sia tutt'altro che banale a livello rigoroso.
Infine l'abuso di notazione di sicuro non facilita il discorso e senza volermi giustificare, non riesco a spiegarmi come l'errore sia stato così grave, quando in generale in fisica e in tutto il corso si è fatto un uso abbastanza libero del concetto (semplificando con molta libertà i "de" ad esempio)
Qualcuno saperebbe illuminarmi?
Magari anche più in generale su questa ''annosa questione'' della notazione e degli infinitesimi e delle derivate in fisica.
Ringrazio in anticipo
P.s. ho postato un messaggio uguale anche nella sezione fisica, vorrei avere un parere di fisici e matematici, per capire i due punti di vista sul problema. Non voglio in alcun modo otturare il forum.
Risposte
In primo luogo, abbiamo appurato che l'equazione \(d\mathbf F = \frac{d\mathbf P}{dt}\) non può essere corretta perché produrrebbe un risultato assurdo nel caso del campo gravitazionale. Il che risponde alla tua domanda iniziale, dando ragione al tuo professore.
Attenzione! Tu dici
Quanto al resto, non ho chiaro cosa tu voglia sapere ma sospetto che gira attorno all'uso che i fisici fanno del concetto di infinitesimo. La mia risposta, analoga a quella di prima, è che non devi porti troppe domande. Questo è un esempio di come i fisici vedono queste cose, prendi specialmente la risposta di Florin Andrei. Come vedi, non si pongono proprio il problema: se una formula funziona, la usano, interpretando tutte le grandezze coinvolte in termini di oggetti fisici reali.
Attenzione! Tu dici
Se il campo è costante ad esempio nel tempo e m è costanteL'importante è che il campo sia costante rispetto a tutte le variabili, spaziali e temporali, così che \(d\mathbf F\) deve per forza essere uguale a zero.
Quanto al resto, non ho chiaro cosa tu voglia sapere ma sospetto che gira attorno all'uso che i fisici fanno del concetto di infinitesimo. La mia risposta, analoga a quella di prima, è che non devi porti troppe domande. Questo è un esempio di come i fisici vedono queste cose, prendi specialmente la risposta di Florin Andrei. Come vedi, non si pongono proprio il problema: se una formula funziona, la usano, interpretando tutte le grandezze coinvolte in termini di oggetti fisici reali.
Premettendo che la scrittura \(\displaystyle \text{d}\mathbf{F}=\text{d}m\cdot\mathbf{g} \) è molto ambigua, credo che l'OP stia semplicemente denotando una "forza molto piccola" risultante da una "massa molto piccola".
E' davvero necessario scrivere quei \(\displaystyle \text{d} \) e far credere a tutti (incluso il tuo docente) che tu ti stia riferendo in modo errato ai differenziali? Molto meglio accettare che le grandezze in gioco sono piccole, fine.
E' vero che i fisici sono colpevoli di introdurre queste ambiguità (l'esempio classico è l'elemento di linea \(\displaystyle \text{d}l \)) ma al di fuori di questi casi cercherei di evitare il più possibile di fare confusione.
E' davvero necessario scrivere quei \(\displaystyle \text{d} \) e far credere a tutti (incluso il tuo docente) che tu ti stia riferendo in modo errato ai differenziali? Molto meglio accettare che le grandezze in gioco sono piccole, fine.
E' vero che i fisici sono colpevoli di introdurre queste ambiguità (l'esempio classico è l'elemento di linea \(\displaystyle \text{d}l \)) ma al di fuori di questi casi cercherei di evitare il più possibile di fare confusione.
Ringrazio tutti quelli che sono intervenuti!
@weierstrass ha capito bene l'errore.
In futuro cercherò il più possibile di evitare, studiando matematica ( anche se sono solo agli inizi e seguirò i consigli di @dissonance)
sono abituato a un formalismo più rigoroso e forse mi manca un po' il buon senso per interpretare le situazioni di ambiguità!
@weierstrass ha capito bene l'errore.
In futuro cercherò il più possibile di evitare, studiando matematica ( anche se sono solo agli inizi e seguirò i consigli di @dissonance)
sono abituato a un formalismo più rigoroso e forse mi manca un po' il buon senso per interpretare le situazioni di ambiguità!
Forse è un po' presto, ma queste cose te le ritroverai davanti quando vedrai risolvere in modo "sportivo" le equazioni differenziali a variabili separabili.
Che dietro al modo in cui i fisici trattano gli infinitesimi ci sia l'idea di una quantità molto piccola, come dice Weierstress e così ben sintetizzata nell'intervento di Florin Andrei citato da dissonance, lo si può vedere anche in questo contesto (sezione 3.2 a pag 19 degli appunti linkati):
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf
Che dietro al modo in cui i fisici trattano gli infinitesimi ci sia l'idea di una quantità molto piccola, come dice Weierstress e così ben sintetizzata nell'intervento di Florin Andrei citato da dissonance, lo si può vedere anche in questo contesto (sezione 3.2 a pag 19 degli appunti linkati):
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf
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