Infinitesimi

[maybe1]

detto $r=sqrt(x^2+y^2)$ se $f(x,y)=o(r) $ e $g(x,y)=o(r)$ considerata $psi(x,y)=f(x)*x-g(x,y)*y$
allora il professore dice che $|psi(x,y)|<=(|x|+|y|)*(|f(x,y)|+|g(x,y)|)$
e quindi si vede facilmente(?!?) che $|psi(x,y)|=o(r^2)$
io quest'ultima cosa non l'ho capita... ringrazio tutti quelli che mi vorranno dare una mano

[gugo82]

La disuguaglianza AMGM (media aritmetica e media geometrica) implica che $|x|+|y|\leq 2 \sqrt{|xy|}$; d'altra parte $|xy|\leq \frac{1}{2} (x^2+y^2)$ (basta sviluppare il quadrato dei binomi $(x\pm y)^2$), quindi si ha:

$|x|+|y|\leq \sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2}$

ossia $|x|+|y|$ è infinitesimo in $(0,0)$ dello stesso ordine di $\sqrt{x^2+y^2}$.

[Rigel1]

Mah, banalmente io farei
$|\psi(x,y)| \le |f(x,y)| \cdot |x| + |g(x,y)|\cdot |y| \le |f(x,y)| ( |x|+|y|) + |g(x,y)|(|x|+ |y|)$
da cui segue la prima disuguaglianza.
Per la seconda basta osservare che
$|x| + |y| \le \sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2} = r \sqrt{2}$,
e che $|f| + |g| = o(r)$.

Edit: non avevo ancora visto il msg di gugo.

[maybe1]

"gugo82":La disuguaglianza AMGM (media aritmetica e media geometrica) implica che $|x|+|y|\leq 2 \sqrt{|xy|}$; d'altra parte $|xy|\leq \frac{1}{2} (x^2+y^2)$ (basta sviluppare il quadrato dei binomi $(x\pm y)^2$), quindi si ha:

$|x|+|y|\leq \sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2}$

ossia $|x|+|y|$ è infinitesimo in $(0,0)$ dello stesso ordine di $\sqrt{x^2+y^2}$.

forse sono proprio di coccio ma non ho capito perchè $|x|+|y|\leq 2 \sqrt{|xy|}$ ...
non dovrebbe essere la media geometrica minore di quella aritmetica?

[maybe1]

"Rigel":Mah, banalmente io farei
$|\psi(x,y)| \le |f(x,y)| \cdot |x| + |g(x,y)|\cdot |y| \le |f(x,y)| ( |x|+|y|) + |g(x,y)|(|x|+ |y|)$
da cui segue la prima disuguaglianza.
Per la seconda basta osservare che
$|x| + |y| \le \sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2} = r \sqrt{2}$,
e che $|f| + |g| = o(r)$.

Edit: non avevo ancora visto il msg di gugo.

scusa ma perchè $|x| + |y| \le \sqrt{2} \sqrt{x^2+y^2} = r \sqrt{2}$ ???

[Rigel1]

Usando la disuguaglianza $2|x|\cdot | y| \le x^2+y^2$ ottieni che
$(|x|+|y|)^2 = x^2+y^2+2|x|\cdot |y| \le 2(x^2+y^2)$.
Adesso basta estrarre la radice quadrata.

[gugo82]

@ mystake: Hai ragione a lamentarti; la AMGM ha il verso della disuguaglianza invertito... [tex]$|x|+|y|\geq 2\sqrt{|xy|}$[/tex].
Scusa; colpa mia, ho postato di fretta e non ci ho fatto caso.
La dimostrazione di Rigel è senz'altro corretta.

Ah, che risulta [tex]$|x|+|y|\leq \sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2}$[/tex] si può dimostrare elevando al quadrato: infatti è:

[tex]$(|x|+|y|)^2=x^2+2|xy|+y^2$[/tex] e [tex]$(\sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2})^2=2(x^2+y^2)$[/tex]

quindi:

[tex]$(\sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2})^2 -(|x|+|y|)^2=x^2+y^2-2|xy|=(|x|-|y|)^2\geq 0 \quad \Rightarrow \quad |x|+|y|\leq \sqrt{2} \ \sqrt{x^2+y^2}$[/tex].


@ Rigel: scusa la sovrapposizione.

[maybe1]

grazie siete stati davvero preziosi!