Infinitesimi
Non riesco a capire bene il concetto di infinitesimo specialmente per ciò che concerne il concetto di velocità.Ad esempio , se con uno sviluppo di Taylor ho al numeratore un o piccolo di grado inferiore al numeratore tenderà più velocemente a zero il numeratore o il numeratore?
Qualcuno mi potrebbe indicare qualche sito o libro dove poter trovare concrete risposte alle mie domande , oppure darmi qualche "dritta"?
Vi ringrazio per la disponibilità, questo è l'unico sito che offre risposte concrete e chiare alle mie domande.
Grazie
mirella
Qualcuno mi potrebbe indicare qualche sito o libro dove poter trovare concrete risposte alle mie domande , oppure darmi qualche "dritta"?
Vi ringrazio per la disponibilità, questo è l'unico sito che offre risposte concrete e chiare alle mie domande.
Grazie
mirella
Risposte
Ciao mirela!
Un infinitesimo di ordine n per x che tende a x0 è una funzione f(x) tale che il limite per x che tende a x0 di f(x)/((x-x0)^n) è uguale a 0. Se x0 non è specificato s'intende x0=0.
In altri termini, se f(x) è un infinitesimo di ordine n allore f(x) tende a zero più rapidamente di x^n. Cioè, per x che tende a 0, f(x) si comporta come x^k, con k>n.
L'infinitesimo è un modo per dire quanto rapidamente una funzione tenda a zero RISPETTO a x^n.
Si usa anche dire che f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto a
g(x) se:
1) g(x) tende a zero per x che tende a zero
2) f(x) tende a zero per x che tende a zero
3) il limite per x che tende a zero di f(x)/( (g(x))^n ) è uguale
a 0.
che è la stessa definizione di prima, ma un po' più generale. Si ricade nella prima definizione ponendo g(x)=x (oppure g(x)=x-x0 se x0 è diverso da 0).
OSSERVAZIONE: se f(x) è infinitesimo di ordine n allora lo è anche di ordine n-1, n-2,....,1.
Lo sviluppo di taylor di una funzione è una somma di potenze di x.
Quando trovi una scrittura del tipo:
sin(x)=x-1/6*x^3 + o(x^4)
vuol dire che i termini della serie di taylor che sono stati omessi (racchiusi nella scrittura dell'o piccolo), se divisi per x^4, tendono a 0 per x che tende a 0. Quindi saranno potenze di x del tipo x^5, x^6, x^7 etc. ma non del tipo x^4, x^3 etc.
Per quanto riguarda la tua domanda sulla frazione, non l'ho capita bene!
goblyn
Un infinitesimo di ordine n per x che tende a x0 è una funzione f(x) tale che il limite per x che tende a x0 di f(x)/((x-x0)^n) è uguale a 0. Se x0 non è specificato s'intende x0=0.
In altri termini, se f(x) è un infinitesimo di ordine n allore f(x) tende a zero più rapidamente di x^n. Cioè, per x che tende a 0, f(x) si comporta come x^k, con k>n.
L'infinitesimo è un modo per dire quanto rapidamente una funzione tenda a zero RISPETTO a x^n.
Si usa anche dire che f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto a
g(x) se:
1) g(x) tende a zero per x che tende a zero
2) f(x) tende a zero per x che tende a zero
3) il limite per x che tende a zero di f(x)/( (g(x))^n ) è uguale
a 0.
che è la stessa definizione di prima, ma un po' più generale. Si ricade nella prima definizione ponendo g(x)=x (oppure g(x)=x-x0 se x0 è diverso da 0).
OSSERVAZIONE: se f(x) è infinitesimo di ordine n allora lo è anche di ordine n-1, n-2,....,1.
Lo sviluppo di taylor di una funzione è una somma di potenze di x.
Quando trovi una scrittura del tipo:
sin(x)=x-1/6*x^3 + o(x^4)
vuol dire che i termini della serie di taylor che sono stati omessi (racchiusi nella scrittura dell'o piccolo), se divisi per x^4, tendono a 0 per x che tende a 0. Quindi saranno potenze di x del tipo x^5, x^6, x^7 etc. ma non del tipo x^4, x^3 etc.
Per quanto riguarda la tua domanda sulla frazione, non l'ho capita bene!
goblyn
Ti ho mandato via e-mail due appunti sull'argomento.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 03/05/2003 18:00:06
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 03/05/2003 18:00:06
Ciao Goblyn,sono perplesso per la tua risposta : le prime due frasi .
A me non sembrano corrette .
Io le scriverei cosi':
Un infinitesimo di ordine n per x che tende a x0 e' una funzione
f(x) tale che il limite per x che tende a x0 di f(x)/((x-x0)^n) = L diverso da 0 .
In altri termini , se f(x) e' un infinitesimo di ordine n allora f(x) tende a zero come x^n.
ciao
A me non sembrano corrette .
Io le scriverei cosi':
Un infinitesimo di ordine n per x che tende a x0 e' una funzione
f(x) tale che il limite per x che tende a x0 di f(x)/((x-x0)^n) = L diverso da 0 .
In altri termini , se f(x) e' un infinitesimo di ordine n allora f(x) tende a zero come x^n.
ciao
Ciao Camillo, grazie per avermi segnalato l'errore.
Infatti quella che ho scritto io è la definizione di "o piccolo". Quella di infinitesimo l'hai scritta tu!
Scusate la confusione! Con in testa l'applicazione (i limiti) pensavo agli o piccoli e scivevo sugli infinitesimi... sorry!
goblyn
Infatti quella che ho scritto io è la definizione di "o piccolo". Quella di infinitesimo l'hai scritta tu!
Scusate la confusione! Con in testa l'applicazione (i limiti) pensavo agli o piccoli e scivevo sugli infinitesimi... sorry!
goblyn
Ciao...
ho problemi nel capire l'uso degli o-piccolo...
Ho cercato in diversi libri di analisi, ma nessuno è riuscito a farmi capire bene la cosa...
più che altro mi servirebbe capire come si risolvono in pratica gli esercizi...
sapete dirmi qualcosa?
libro... appunti...?
non so..
aiutatemiii
ciao
ho problemi nel capire l'uso degli o-piccolo...
Ho cercato in diversi libri di analisi, ma nessuno è riuscito a farmi capire bene la cosa...
più che altro mi servirebbe capire come si risolvono in pratica gli esercizi...
sapete dirmi qualcosa?
libro... appunti...?
non so..
aiutatemiii
ciao
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