Inf sup e quant'altro

[ana871]

1
\(\displaystyle
A={\left\{x\in\mathbb{Z} | x^2+ x + 1 < 3\right\} }
\)
ho svolto cosi' come se fosse una disequazione mi esce
\(\displaystyle
x_{1}=1
\)
\(\displaystyle
x_{2}=2
\)
e' dato che c'e' < prendo valori interni per tanto \(\displaystyle 1 allora l'insieme e'
limitato inferiormente ,limitato superiormente ,sup=2 ,inf=1 ,max non esiste ,min non esiste giusto ?
2
\(\displaystyle
A={\left\{ x\in\mathbb{R} | x=sin {(n \frac\pi{2} )}; n\in\mathbb{N} \right\} }
\)
allora l'insieme e'
limitato inferiormente ,limitato superiormente ,sup=1 ,inf=-1 ,max 1 ,min -1 giusto ?
3
\(\displaystyle
A={\left\{x\in\mathbb{R} | x=\frac{n+ 1}{n}\ ; n\in\mathbb{N} \right\} }
\)
allora l'insieme e'
limitato inferiormente ,non limitato superiormente ,sup=\(\displaystyle +\infty \) ,inf=1 ,max non esiste ,min non esiste giusto ?

[21zuclo]

"ana87":1
\(\displaystyle
A={\left\{x\in\mathbb{Z} | x^2+ x + 1 < 3\right\} }
\)
ho svolto cosi' come se fosse una disequazione mi esce
\(\displaystyle
x_{1}=1
\)
\(\displaystyle
x_{2}=2
\)
e' dato che c'e' < prendo valori interni per tanto \(\displaystyle 1 allora l'insieme e'
limitato inferiormente ,limitato superiormente ,sup=2 ,inf=1 ,max non esiste ,min non esiste giusto ?

inziamo dal primo.
Per prima cosa se un insieme è sia limitato inferiormente che superiormente, allora l'insieme è limitato, non entrambe le cose.
Comunque SI estremo inferiore è 1 e l'estremo superiore è 2. Non ha né max né minimo. Ah poi una cosa sei in Z cioè l'insieme degli interi relativi, i tuoi punti sono tutti punti isolati.

Se non hai domande possiamo passare al secondo esercizio

[ana871]

allora se e? limitato sia inferiormente che superiormente devo solo dire che e' limitato ok

i tuoi punti sono tutti punti isolati

cioe' non ci sono punti di accumulazione
intendi tipo come se andassi a finre in Q di conseguenza
potrei trovare altri punti nell' intorno di un punto diversi dal punto stesso

passiamo al secondo tnks

[gugo82]

"21zuclo":[quote="ana87"]1
\(\displaystyle
A={\left\{x\in\mathbb{Z} | x^2+ x + 1 < 3\right\} }
\)
ho svolto cosi' come se fosse una disequazione mi esce
\(\displaystyle
x_{1}=1
\)
\(\displaystyle
x_{2}=2
\)
e' dato che c'e' < prendo valori interni per tanto \(\displaystyle 1 allora l'insieme e'
limitato inferiormente ,limitato superiormente ,sup=2 ,inf=1 ,max non esiste ,min non esiste giusto ?

inziamo dal primo.
Per prima cosa se un insieme è sia limitato inferiormente che superiormente, allora l'insieme è limitato, non entrambe le cose.
Comunque SI estremo inferiore è 1 e l'estremo superiore è 2. Non ha né max né minimo. Ah poi una cosa sei in Z cioè l'insieme degli interi relativi, i tuoi punti sono tutti punti isolati.

Se non hai domande possiamo passare al secondo esercizio[/quote]
Ragazzi, state dicendo un sacco di "fregnacce".

L'insieme \(A\) è l'intersezione dell'insieme \(A^\prime :=\{ x\in \mathbb{R}:\ x^2 + x+ 1<3\}\) con \(\mathbb{Z}\): infatti:
\[
A=\{ x\in \mathbb{Z}:\ x^2 + x+ 1<3\} = \{ x\in \mathbb{R}:\ x^2 + x+ 1<3\} \cap \mathbb{Z} = A^\prime \cap \mathbb{Z}.
\]
Ora, evidentemente \(A^\prime =]-2,1[\), dunque:
\[
A=]-2,1[\cap \mathbb{Z} = \{ -1,0\}\; .
\]
L'insieme \(A\) è finito, perciò esso è dotato di minimo e massimo: in particolare:
\[
\min A = -1 \qquad \text{e} \qquad \max A=0\; .
\]
Lascio ad ana87 il compito (semplice) di individuare \(\inf A\) e \(\sup A\).

[21zuclo]

ah cavolo bisognava anche calcolare il derivato dell'insieme. Non mi è venuto in mente. accidenti!!

[ana871]

ciao gugo82

L'insieme A è l'intersezione dell'insieme A′:={x∈R: x2+x+1<3} con Z

in base a cosa deduci questo ?

cioe nel senso perche' l'hai fatto per avere i puntI di accumulazione ?
in quali casi e' necessario questo accorgimento ?

[21zuclo]

io non avevo fatto ai calcoli, mi sono fidato delle tue soluzioni trovate.

Però se risolvi questa disequazione $x^2+x+1<3 \to x^2+x-2<0$ ottieni $x\in (-2,1)$

ora siamo in $\mathbb{Z}$ e posso concordare con gugo82 che $min(A)=-1$ e $max(A)=0$

non avevo controllato i calcoli

Però ottimo ragionamento in tuo gugo82, come lo hai svolto me lo segno. C'è sempre da imparare qui

[ana871]

a oK ho capito perche anche se
\(\displaystyle
-2 ,1
\)
non sono nell'insieme pero' essendo in Z tra -2 ,1
c'e -1 e 0 che sono min e max

a questo punto domanda min e max se esistono
sono sempre interi o posso essere anche razionali ?

potreste dirmi qualcosa anche per gli altri esercizi tnks