Inf e sup di un insieme ordinato.

[Kashaman]

Pongo in esame alcuni quesiti, visto che in analisi sono abbastanza "novello". Con $M_(+-)(A)$ denoto l'insime dei maggioranti/minoranti di $A$.
Primo quesito Sia $A={x in RR | x<=2}sube RR$ trovare $i$$nfA$ e $s$$upA$ qualora fosse possibile
svolgimento.
Innanzi tutto noto che $M_+(A)={ a in RR | a>=2}$, si ha che $s$$upA=minM_+(A)=2$ inoltre poiché $2 in A => 2=maxA$.
Ora $M_-(A)$ è sicuramente vuoto, per definizione di $A$, Ne segue allora che non esiste l'estremo inferiore di $A$.
secondo quesito Trovare $s$$up$ e $i$$nf$ di ${3}subeRR$
Come fatto in precedenza noto che $M_+(A)={a in RR | a>=3}$ e quindi $s$$upA=3 in A => 3=maxA$
$M_-(A)={a in RR | a<=3}$ e quindi $i$$nfA=3 in A => 3=minA$

Ne traggo una generalizzazione Se abbiamo $A={a} sube E$ ove $E$ è un insieme ordinato, $supA=InfA=minA=maxA$, è giusto?

terzo quesito $A={x in RR | x=(n-1)/n ,n=1,2,3,...} sube RR}$ trovare $i$$nfA$ e $s$$upA$
Notiamo che $A$ è limitato inferiormente , infatti $0=(1-1)/1 in A =minA$.
Quindi $AA x in A : x=(n-1)/n>=0$. (1) .
Provo (1). Supponiamo per assurdo che $x<=0$ Allora avrei che $0<=n<=1$ ma ciò è un assurdo in quanto $n in NN\\{0}$. Quindi vale (1).
Notiamo allora che $0<=x=(n-1)/n=1-1/n$ da cui , maggiorando $0<=1-1/n<1$.
Pertanto $1$ risulterebbe essere l'estremo superiore di $A$.
In definitiva posso riscrivere $A$ come $A={x in RR | 0<=x<1}sube RR$

Che ne dite? o ho fatto pastrocchi? grazie mille

[gugo82]

"Kashaman":Pongo in esame alcuni quesiti, visto che in analisi sono abbastanza "novello". Con $M_(+-)(A)$ denoto l'insime dei maggioranti/minoranti di $A$.
Primo quesito Sia $A={x in RR | x<=2}sube RR$ trovare $i$$nfA$ e $s$$upA$ qualora fosse possibile
svolgimento.
Innanzi tutto noto che $M_+(A)={ a in RR | a>=2}$, si ha che $s$$upA=minM_+(A)=2$ inoltre poiché $2 in A => 2=maxA$.
Ora $M_-(A)$ è sicuramente vuoto, per definizione di $A$, Ne segue allora che non esiste l'estremo inferiore di $A$.

L'ultima asserzione è "sindacabile".
Se un insieme non è limitato inferiormente si pone per definizione \(\inf A=-\infty\).
Quindi l'estremo inferiore esiste, perchè è definito.

"Kashaman":secondo quesito Trovare $s$$up$ e $i$$nf$ di ${3}subeRR$
Come fatto in precedenza noto che $M_+(A)={a in RR | a>=3}$ e quindi $s$$upA=3 in A => 3=maxA$
$M_-(A)={a in RR | a<=3}$ e quindi $i$$nfA=3 in A => 3=minA$

Ne traggo una generalizzazione Se abbiamo $A={a} sube E$ ove $E$ è un insieme ordinato, $supA=InfA=minA=maxA$, è giusto?

Ovvio.

"Kashaman":terzo quesito $A={x in RR | x=(n-1)/n ,n=1,2,3,...} sube RR}$ trovare $i$$nfA$ e $s$$upA$
Notiamo che $A$ è limitato inferiormente , infatti $0=(1-1)/1 in A =minA$.
Quindi $AA x in A : x=(n-1)/n>=0$. (1) .
Provo (1). Supponiamo per assurdo che $x<=0$ Allora avrei che $0<=n<=1$ ma ciò è un assurdo in quanto $n in NN\\{0}$. Quindi vale (1).
Notiamo allora che $0<=x=(n-1)/n=1-1/n$ da cui , maggiorando $0<=1-1/n<1$.
Pertanto $1$ risulterebbe essere l'estremo superiore di $A$.
In definitiva posso riscrivere $A$ come $A={x in RR | 0<=x<1}sube RR$

L'ultima parte è sbagliatissima.
L'insieme \(A\) e l'insieme \(\{ x\in \mathbb{R}:\ 0\leq x<1\}\) sono diversissimi: ad esempio, \(1/\sqrt{2}\) è nel secondo insieme, ma non è certo un elemento del primo!

Per il resto ci sei... Tuttavia, hai dimostrato che \(1\) è un maggiorante di \(A\), cosa non implica affatto \(\sup A=1\).
Per provare questa uguaglianza devi far vedere che non esistono maggioranti di \(A\) più piccoli di \(1\).

Ah, inoltre, \(n-1\geq 0\) e \(n\geq 1>0\), da cui segue senza patemi che \((n-1)/n\geq 0\) (è rapporto di due numeri nonnegativi).

[Kashaman]

guazie gugo