Inf e sup di un insieme
Salve a tutti, ho iniziato a fare degli esercizi riguardo estremi superiori ed inferiori di un insieme, ma benché riesca a risolverli avevo dei dubbi circa il metodo.
Consideriamo $A={x=n^2+22n+10|ninNN}subRR$
Risulta illimitato superiormente, mentre il $min$ e quindi l'$i$$nf$ è $10$.
Però tutto ciò, abbastanza semplice, si evince senza applicare nessun calcolo particolare, semplicemente guardando per bene il mio insieme $A$.
Esistono dei calcoli standard?
Ad esempio, considerato $B={x=-n^2+22n+10|ninNN}$.
Ora, anche qui, guardandolo in faccia, mi viene da dire che ammette $s$$up$, mentre non è limitato inferiormente. Ma con la definizione non saprei come cavarmela.
Osservo preliminarmente che per $n<23$, $x>0$, quindi sicuramente il $s$$up$ sarà determinato da un $n$ presente in quell'intervallo. Ma quale?
In realtà vedendo il termine al quadrato ho ipotizzato che fosse tipo una parabola, quindi magari il valor medio $11$ andasse bene, quindi che $x=131$ fosse il massimo (come è!), ma vorrei avere un metodo generale più solido a cui ricorrere quando queste osservazioni dovessero vacillare.
Grazie a tutti.
Consideriamo $A={x=n^2+22n+10|ninNN}subRR$
Risulta illimitato superiormente, mentre il $min$ e quindi l'$i$$nf$ è $10$.
Però tutto ciò, abbastanza semplice, si evince senza applicare nessun calcolo particolare, semplicemente guardando per bene il mio insieme $A$.
Esistono dei calcoli standard?
Ad esempio, considerato $B={x=-n^2+22n+10|ninNN}$.
Ora, anche qui, guardandolo in faccia, mi viene da dire che ammette $s$$up$, mentre non è limitato inferiormente. Ma con la definizione non saprei come cavarmela.
Osservo preliminarmente che per $n<23$, $x>0$, quindi sicuramente il $s$$up$ sarà determinato da un $n$ presente in quell'intervallo. Ma quale?
In realtà vedendo il termine al quadrato ho ipotizzato che fosse tipo una parabola, quindi magari il valor medio $11$ andasse bene, quindi che $x=131$ fosse il massimo (come è!), ma vorrei avere un metodo generale più solido a cui ricorrere quando queste osservazioni dovessero vacillare.
Grazie a tutti.
Risposte
Per gli esercizi che hai indicato, in effetti i risultati si vedono immediatamente trattandosi di "parabole", ma in generale per dimostrare che un certo valore $s$ è il sup di un insieme dovresti dimostrare che
1. $s$ è una limitazione superiore, cioè $AA n in NN$ $x
Ovviamente devi procedere in modo analogo per l'inf
1. $s$ è una limitazione superiore, cioè $AA n in NN$ $x
Ovviamente devi procedere in modo analogo per l'inf
Grazie per la risposta @melia, però come devo risolvere la diseguaglianza $x
Nel senso che risolvendo ad esempio la seconda ottengo $n_(1\2)=11+-(sqrt(131-s))$... ora come interpretare questo risultato? Ad esempio imponendo il $Delta=0$ ottengo che per $n=11$, $s=131$ che è proprio quello che desideravo!
In questo modo?
Nel senso che risolvendo ad esempio la seconda ottengo $n_(1\2)=11+-(sqrt(131-s))$... ora come interpretare questo risultato? Ad esempio imponendo il $Delta=0$ ottengo che per $n=11$, $s=131$ che è proprio quello che desideravo!
In questo modo?
Estremo superiore di $B$ .
Devi verificare che $AA n in NN $ si ha $x 0 $ che puoi riscrivere come $(n-11)^2>0$ .
Quindi la disequazione sarà sempre vera ( essendo un quadrato), tranne che per $n=11$ in cui vale $0$.
Vuol dire allora che il sup è anche max.
[ Non devi imporre niente...].
Per poter affermare che veramente $131 $ è il sup ( e anche il max in questo caso ) di $B$ devi verificare anche la condizione 2:
$EE n in NN | x> s-epsilon ,AAepsilon > 0 $.
Se questo è vero allora siamo sicuri che $s$ è il minimo dei maggioranti e quindi è veramente il sup.
Si ottiene quindi questa disequazione da risolvere $ n^2-22n+(121-epsilon) < 0 $
Prosegui tu...
Devi verificare che $AA n in NN $ si ha $x
Quindi la disequazione sarà sempre vera ( essendo un quadrato), tranne che per $n=11$ in cui vale $0$.
Vuol dire allora che il sup è anche max.
[ Non devi imporre niente...].
Per poter affermare che veramente $131 $ è il sup ( e anche il max in questo caso ) di $B$ devi verificare anche la condizione 2:
$EE n in NN | x> s-epsilon ,AAepsilon > 0 $.
Se questo è vero allora siamo sicuri che $s$ è il minimo dei maggioranti e quindi è veramente il sup.
Si ottiene quindi questa disequazione da risolvere $ n^2-22n+(121-epsilon) < 0 $
Prosegui tu...
Grazie Camillo, però una domanda. Come sei giunto alla disequazione $n^2-22n+121>0$. E' chiaro che $121=131-10$, ma quel $131$ l'hai determinato risolvendo la disequazione cui sopra?
Chiedo questo, e mi scuso per la banalità, perchè sto risolvendo un mucchio di esercizi di questo tipo, anche più difficili sempre... ad occhio, e ciò se da un lato mi fa piacere dall'altro no!
Grazie ancora
Chiedo questo, e mi scuso per la banalità, perchè sto risolvendo un mucchio di esercizi di questo tipo, anche più difficili sempre... ad occhio, e ciò se da un lato mi fa piacere dall'altro no!
Grazie ancora
Scusate se mi intrometto... @mistake: Io credo che in questi esercizi non si possa tanto trovare un metodo risolutivo. Sì, ci sono delle tecniche più o meno applicabili ma sostanzialmente bisogna scervellarsi caso per caso. Ad esempio, già per trovare sup e inf dell'insieme ${sin(n)\ |\ n \in NN}$ (esercizio difficile), così apparentemente innocuo, bisogna usare una tecnica ad hoc.
Ho semplicemente controllato che le due condizioni indicate da @melia fossero verificate per il numero $s=131$ :
$x 0 $ .etc etc.
Per trovare $ n= 11 $ e di conseguenza $s= 131 $ ho considerato la parabola di equazione $z= -y^2+22y+10 $ ( passando dal discreto al continuo ...) che ha max per $y= 11 $.
$x
Per trovare $ n= 11 $ e di conseguenza $s= 131 $ ho considerato la parabola di equazione $z= -y^2+22y+10 $ ( passando dal discreto al continuo ...) che ha max per $y= 11 $.
Grazie ad entrambi. Ho capito... era un pò ciò che mi aspettavo ma credevo esistesse un metodo più generale.
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