\( \inf \) e \( \sup \) di insiemi convessi
Ciao, di nuovo. In quanto segue, estremo superiore ed estremo superiore sono da considerarsi nei reali estesi \( \widetilde{\mathbb{R}} \). Quanto dimostrato (spero) correttamente in questo thread doveva servirmi a provare che tutti gli intervalli reali \( I \) non vuoti sono del tipo \( \left]\inf{I},\sup{I}\right[ \), \( \left[\inf{I},\sup{I}\right[ \), ecc... . In questa dimostrazione c'è ancora qualcosa che mi sfugge. Partiamo dalla definizione di intervallo reale:
Definizione ["intervallo in \( \mathbb{R} \)"]: Chiamo intervallo di \( \mathbb{R} \) ogni suo sottoinsieme convesso rispetto all'ordine solito.
Proposizione: Sia \( \emptyset\neq I \) un intervallo reale; Allora \( \left]\inf{I},\sup{I}\right[\subset I \).
Dimostrazione: L'ho divisa in due parti:
1) se \( \inf{I} \) e \( \sup{I} \) sono numeri reali. L'idea è che un insieme convesso sia appunto un segmento sulla retta reale, "senza buchi", i cui estremi siano \( \inf{I} \) e \( \sup I\); ergo considerando un elemento \( x \) strettamente compreso tra gli estremi del segmento, dovrei essere in grado, per sfruttare la convessità e quindi giungere alla tesi, di trovare due \( \alpha \), \( \beta \) di \( I \) tali che \( \alpha\leq x\leq\beta \). Per l'assioma di completezza (ma credo si possa fare anche solo considerando una qualche media aritmetica tipo qui), esistono \( \inf{I}\leq\xi'\leq x \) e \( x\leq\xi''\leq\sup{I} \). Da qui ammetto di bloccarmi.
2) se \( \inf{I} \) o \( \sup{I} \) non sono finiti. ho il vuoto
È una buona strategia questa? Mi blocco principalmente sul primo punto, quando si tratta di confermare che \( \xi',\xi'' \) siano affettivamente appartenenti a \( I \): mi sembra di tornare indietro.
EDIT: Corretto errore segnalato da @otta96.
Definizione ["intervallo in \( \mathbb{R} \)"]: Chiamo intervallo di \( \mathbb{R} \) ogni suo sottoinsieme convesso rispetto all'ordine solito.
Proposizione: Sia \( \emptyset\neq I \) un intervallo reale; Allora \( \left]\inf{I},\sup{I}\right[\subset I \).
Dimostrazione: L'ho divisa in due parti:
1) se \( \inf{I} \) e \( \sup{I} \) sono numeri reali. L'idea è che un insieme convesso sia appunto un segmento sulla retta reale, "senza buchi", i cui estremi siano \( \inf{I} \) e \( \sup I\); ergo considerando un elemento \( x \) strettamente compreso tra gli estremi del segmento, dovrei essere in grado, per sfruttare la convessità e quindi giungere alla tesi, di trovare due \( \alpha \), \( \beta \) di \( I \) tali che \( \alpha\leq x\leq\beta \). Per l'assioma di completezza (ma credo si possa fare anche solo considerando una qualche media aritmetica tipo qui), esistono \( \inf{I}\leq\xi'\leq x \) e \( x\leq\xi''\leq\sup{I} \). Da qui ammetto di bloccarmi.
2) se \( \inf{I} \) o \( \sup{I} \) non sono finiti. ho il vuoto
È una buona strategia questa? Mi blocco principalmente sul primo punto, quando si tratta di confermare che \( \xi',\xi'' \) siano affettivamente appartenenti a \( I \): mi sembra di tornare indietro.
EDIT: Corretto errore segnalato da @otta96.
Risposte
"marco2132k":
tutti gli intervalli reali \( I \) non vuoti sono del tipo \( \left]\inf{I},\sup{I}\right[ \).
Questo non è vero, $[0,1]$ è un intervallo non di quel tipo.
Definizione ["intervallo in \( \mathbb{R} \)"]: Chiamo intervallo di \( \mathbb{R} \) ogni suo sottoinsieme convesso rispetto all'ordine solito.
Si ma cosa intendi con insieme convesso rispetto ad un ordine?
1) se \( \inf{I} \) e \( \sup{I} \) sono numeri reali. L'idea è che un insieme convesso sia appunto un segmento sulla retta reale, "senza buchi", i cui estremi siano \( \inf{I} \) e \( \sup I\); ergo considerando un elemento \( x \) strettamente compreso tra gli estremi del segmento, dovrei essere in grado, per sfruttare la convessità e quindi giungere alla tesi, di trovare due \( \alpha \), \( \beta \) di \( I \) tali che \( \alpha\leq x\leq\beta \). Per l'assioma di completezza (ma credo si possa fare anche solo considerando una qualche media aritmetica tipo qui), esistono \( \inf{I}\leq\xi'\leq x \) e \( x\leq\xi''\leq\sup{I} \). Da qui ammetto di bloccarmi.
Hai praticamente finito, basta che poni $\xi'=\alpha,\xi''=\beta$.
2) se \( \inf{I} \) o \( \sup{I} \) non sono finiti. ho il vuoto
È praticamente la stessa cosa di prima.
grazie per la risposta!
Per insieme convesso (con l'ordine di \( \mathbb{R} \)) intendo un sottoinsieme \( I \) dei reali tale che per ogni \( \alpha,\beta\in I \), \(\alpha\leq\beta\), se \( \alpha\leq x\leq\beta \), allora \( x\in I \) per ogni reale \( x \).
"otta96":Esatto, errore mio: avrei dovuto aggiungere le parentesi chiusa-chiusa, aperta-chiusa, ecc... ho dimenticato di riportarlo qui.
Questo non è vero
"otta96":Ho preso questa cosa da[strike]uno scan de[/strike]l De Marco, metto per sicurezza una foto qui.
cosa intendi con insieme convesso rispetto ad un ordine?
Per insieme convesso (con l'ordine di \( \mathbb{R} \)) intendo un sottoinsieme \( I \) dei reali tale che per ogni \( \alpha,\beta\in I \), \(\alpha\leq\beta\), se \( \alpha\leq x\leq\beta \), allora \( x\in I \) per ogni reale \( x \).
"otta96":Il problema è che non riesco ad assicurarmi che \( \xi',\xi''\in I \): non tutti gli insiemi inferiormente (superiormente) limitati contengono l'estremo inferiore (superiore): l'assioma di completezza mi garantisce l'esistenza di tali \( \xi \) con la disuguaglianza non stretta. È proprio qui che mi blocco.
Hai praticamente finito, basta che poni ξ'=α,ξ''=β.
"otta96":Eh ma qui non posso usare l'assioma di completezza...
È praticamente la stessa cosa di prima.
Lascia stare l'assioma di competezza e ragiona sulla definizione di $\text{sup}$ e $\text{inf}$.
E se posso darti un altro consiglio usa la definizione di insieme convesso data su ‘spazi vettoriali’ e mostra che un insieme $A$ è convesso sse $A$ è un intervallo. La definizione ‘convesso rispetto all’ordine secondo me è un po’ desueta.
La cosa discende quasi automaticamente
La cosa discende quasi automaticamente
Okay effettivamente era piuttosto banale: credo di esserci arrivato
Se consideriamo \( x\in\left]\inf I,\sup I\right[ \), evidentemente esistono \( i',i''\in I \) tali per cui \( i'
Avrei dovuto arrivarci tenendo a mente il fatto che \( \inf \) e \( \sup \) reali sono aderenti all'insieme...
@anto_zoolander Conosco la def. di insieme convesso in uno spazio vettoriale, però il testo (di A1) mi definisce gli intervalli di \( \mathbb{R} \) come convessi di \( \mathbb{R} \). Adesso mi dimostro che le due sono equivalenti, anche se mi sembra una cosa semplice.
Grazie ad entrambi per le dritte
Se consideriamo \( x\in\left]\inf I,\sup I\right[ \), evidentemente esistono \( i',i''\in I \) tali per cui \( i'
Avrei dovuto arrivarci tenendo a mente il fatto che \( \inf \) e \( \sup \) reali sono aderenti all'insieme...
@anto_zoolander Conosco la def. di insieme convesso in uno spazio vettoriale, però il testo (di A1) mi definisce gli intervalli di \( \mathbb{R} \) come convessi di \( \mathbb{R} \). Adesso mi dimostro che le due sono equivalenti, anche se mi sembra una cosa semplice.
Grazie ad entrambi per le dritte
@marco
[ot]hai un buon approccio. Cosa studi?[/ot]
[ot]hai un buon approccio. Cosa studi?[/ot]
@anto_zoolander
[ot]IV liceo
Purtroppo studio/vita sociale mi impediscono studiare in modo "lineare" la matematica, così interrompo spesso delle cose che riprendo a giorni di distanza, facendo un po' di casino a volte..[/ot]
[ot]IV liceo
Purtroppo studio/vita sociale mi impediscono studiare in modo "lineare" la matematica, così interrompo spesso delle cose che riprendo a giorni di distanza, facendo un po' di casino a volte..[/ot]
[ot]bravo, continua così: sopratutto senza tralasciare la vita sociale 
non appena finirai potrai scegliere il corso di studi più adatto per far in modo di far coincidere studio e passione.[/ot]
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