Induzione e numeri reali

[NM81]

Salve, spero la sezione sia giusta.
Ho un dubbio riguardo l'induzione, comparso nella mia mente affrontando l'esercizio numero 9 di questo link
http://www.dmi.units.it/~fonda/EserciziAnalisi1.pdf

mi stavo chiedendo, al di là del dimostrare che vale per $n >= 1$ che è elementare, come posso dimostrare che valga per ogni $a != 1$ ? nei reali non posso considerare un numero di partenza, e dimostrare che se vale per $a$ vale anche per $a+1$ comporterebbe delle incoerenze, in quanto implicherebbe anche la correttezza della formula nel caso $a=1$.
Suggerimenti? Grazie

[axpgn]

Che c'entra $alpha$ ? Per ogni $alpha$ (fissato) quello che varia è $n$.

Passo base:
per $n=1$ abbiamo $sum_(k=1)^n kalpha^(k-1)=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1))/(1-alpha)^2\ =>\ $ $1*alpha^(1-1)=(1-(1+1)alpha^1+1*alpha^(1+1))/(1-alpha)^2\ =>\ 1=(1-2alpha+alpha^2)/(1-alpha)^2\ =>\ 1=(1-alpha)^2/(1-alpha)^2\ =>\ 1=1$

Passo induttivo:

Dobbiamo dimostrare che se $sum_(k=1)^n kalpha^(k-1)=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1))/(1-alpha)^2$ allora $sum_(k=1)^(n+1) kalpha^(k-1)=(1-(n+2)alpha^(n+1)+(n+1)alpha^(n+2))/(1-alpha)^2$

Dimostrazione:
$sum_(k=1)^(n+1) kalpha^(k-1)=sum_(k=1)^(n) kalpha^(k-1)+(n+1)alpha^(n+1-1)=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1))/(1-alpha)^2+(n+1)alpha^n=$

$=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1)+(1-alpha)^2(n+1)alpha^n)/(1-alpha)^2=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1)+(1-2alpha+alpha^2)(nalpha^n+alpha^n))/(1-alpha)^2=$

$=(1-(n+1)alpha^n+nalpha^(n+1)+nalpha^n+alpha^n-2nalpha^(n+1)-2alpha^(n+1)+nalpha^(n+2)+alpha^(n+2))/(1-alpha)^2=$

$=(1+(n+1-n-1)alpha^n-(2n+2-n)alpha^(n+1)+(n+1)alpha^(n+2))/(1-alpha)^2=$

$=(1-(n+2)alpha^(n+1)+(n+1)alpha^(n+2))/(1-alpha)^2$

C.V.D.

Cordialmente, Alex

[NM81]

Effettivamente è vero, non c'è alcun bisogno di dimostrare anche per $a$, è semplicemente un valore.
Ti ringrazio per tutto il resto della dimostrazione, anche se quei passaggi li avevo già fatti. Avrei dovuto precisarlo così ti risparmiavo un po' di lavoro, chiedo scusa