Induzione: correzione

[PrInCeSs Of MuSiC]

Ciao ragazzi.. dopo tanto tempo ritorno a scrivere ^_^

Ho bisogno di avere conferma di questo esercizio fatto sul parziale.

"Dimostrare la veridicità, per ogni

[math]n >= 3[/math]

, della formula: sommatoria di k da 3 a n di

[math]\frac{k}{2^k} = 1 - \frac{n+2}{2^n}[/math]

. Trovare poi la formula della sommatoria che va da 1 a n."

Dunque io ho risolto così:
P(3)=

[math]\frac{3}{8} = \frac{3}{8} [/math]

P(n+1):

[math]\sum_{k=3}^(n+1)\frac{k}{2^k} = 1- \frac{n+1+2}{2^(n+1)}[/math]

Ho dimostrato la sommatoria e mi porta, solo che per la seconda richiesta non sono convinta del mio ragionamento.
In pratica ho pensato: visto che di solito le sommatorie partono da 1 a n, per farla partire da 3 è sufficiente togliere la somma per n=1 e n=2. Quindi ho concluso:

[math]\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k} = \sum_{k=3}^n \frac{k}{2^k} + \sum_{k=1}^2 \frac{k}{2^k} [/math]

Ora alla fine di tutti i calcoli mi viene:

[math] \frac{1}{2} - \frac{7n-8}{2^(n+1)}[/math]

Credo che però non sia giusto, perché per P(1) non porta :(
Dove sbaglio?

PS: perché il latex non funziona?

[ciampax]

Ciao POM, come va? Il Latex funziona: il tag di chiusura però vuole il / e non il \, come hai scritto. Ho corretto sopra e ora vediamo come risolverel'esercizio. Dobbiamo dimostrare che

[math]P(n):\ \sum_{k=3}^n\frac{k}{2^k}=1-\frac{n+2}{2^n}[/math]

Base dell'induzione:

[math]n=3[/math]

. Abbiamo

[math]\sum_{k=3}^3\frac{k}{2^k}=\frac{3}{8}\\ 1-\frac{3+2}{8}=\frac{3}{8}[/math]

Passo induttivo: ammettendo che sia vera

[math]P(n)[/math]

dimostriamo che

[math]P(n+1)\ :\ \sum_{k=3}^{n+1}\frac{k}{2^k}=1-\frac{n+3}{2^{n+1}}[/math]

Possiamo scrivere

[math]\sum_{k=3}^{n+1}\frac{k}{2^k}=\sum_{k=3}^n\frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=1-\frac{n+2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\\
1-\frac{2(n+2)-(n+1)}{2^{n+1}}=1-\frac{2n+4-n-1}{2^{n+1}}=1-\frac{n+3}{2^{n+1}}[/math]

Per la seconda domanda, il ragionamento che fai è giusto, tuttavia va tenuto conto che dovresti avere una formula anche per

[math]n=1,\ n=2[/math]

e a questa non puoi certamente arrivarci usando quella che parte da

[math]n=3[/math]

. Vediamo come fare. Per prima cosa osserva che vogliamo calcolare quanto vale

[math]S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}[/math]

Possiamo notare che

[math]S(1)=\frac{1}{2},\qquad S(2)=1,\qquad S(n)=\frac{3}{2}+P(n),\ n\ge 3[/math]

per quello che dicevi prima. Ora, il problema è quello di cercare di sfruttare

[math]P(n)[/math]

anche per valori precedenti a 3. Vediamo come possiamo scrivere:

[math]S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=[/math]

per far partire la sommatoria da 3, cambio l'indice di sommatoria scrivendo

[math]h=k+2[/math]

in modo da avere

[math]=\sum_{h=3}^{n+2}\frac{h-2}{2^{h-2}}=4\sum_{h=3}^{n+2}\frac{h-2}{2^{h}}=4\sum_{h=3}^{n+2}\left[\frac{h}{2^h}-\frac{1}{2^{h-1}}\right][/math]

così facendo siamo arrivati a due sommatorie di cui possiamo calcolare facilmente la somma. Infatti si ha

[math]\sum_{h=3}^{n+2}\frac{h}{2^h}=1-\frac{n+4}{2^{n+2}}[/math]

utilizzando la

[math]P(n)[/math]

, mentre la seconda risulta una somma di progressione geometrica che possiamo rimaneggiare un po' per ottenere la formula classica

[math]\sum_{k=0}^n q^k=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}[/math]

[math]\sum_{h=3}^{n+2}\frac{1}{2^{h-1}}=[/math]

usando il nuovo indice

[math]j=h-3[/math]

che parte da zero

[math]\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2^{j+2}}=\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^j=\frac{1}{4}\cdot\frac{(1/2)^n-1}{1/2-1}=\\
\frac{1}{4}\cdot(-2)\cdot\frac{1-2^n}{2^n}=\frac{2^n-1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}}[/math]

Pertanto

[math]S(n)=4\left[1-\frac{n+4}{2^{n+2}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}}\right]=4\left[\frac{1}{2}-\frac{n+4-2}{2^{n+2}}\right]=2-\frac{n+2}{2^n}[/math]

Puoi verificare che questa soddisfa le richieste.