Induzione
Salve a tutti, sono uno studente del politecnico in informatica. La questione che mi urge è la seguenete:
Provare per induzione che $sum_(i = 0)^(n) i^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30$ è vera.
Ora: - Basic step: n = 0 $(0*(0+1)*(2*0 + 1)*(3*0^2 + 3*0 -1))/ 30 = 0$, dunque giusto.
- Inductive step: n = n+1 $sum_(i = 0)^(n+1) i^4 = (sum_(i = 0)^(n) i^4) + (n+1)^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30 + (n+1)^4 = ((n+1)*(n*(2*n+1)(3*n^2 + 3*n -1)) + 30(n+1)^3)/30$ ...
Da qui in avanti mi sono bloccato, è un ora che ci sto dietro ma nn riesco ad andare avanati. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo
Provare per induzione che $sum_(i = 0)^(n) i^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30$ è vera.
Ora: - Basic step: n = 0 $(0*(0+1)*(2*0 + 1)*(3*0^2 + 3*0 -1))/ 30 = 0$, dunque giusto.
- Inductive step: n = n+1 $sum_(i = 0)^(n+1) i^4 = (sum_(i = 0)^(n) i^4) + (n+1)^4 = (n*(n+1)*(2n+1)*(3*n^2 + 3*n -1))/30 + (n+1)^4 = ((n+1)*(n*(2*n+1)(3*n^2 + 3*n -1)) + 30(n+1)^3)/30$ ...
Da qui in avanti mi sono bloccato, è un ora che ci sto dietro ma nn riesco ad andare avanati. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
manca una parte:
$((n+1)*(n*(2*n+1)(3*n^2 + 3*n -1) + 30(n+1)^3))/30 $
$((n+1)*(n*(2*n+1)(3*n^2 + 3*n -1) + 30(n+1)^3))/30 $
nessuno?
Basta che verifichi, con due calcoli, se il numeratore dell'ultima cosa che hai scritto è identico a:
$(n+1)(n+1+1)(2n+2+1)[3(n+1)^2+3(n+1)-1]$.
In caso affermativo, la cosa è dimostrata.
$(n+1)(n+1+1)(2n+2+1)[3(n+1)^2+3(n+1)-1]$.
In caso affermativo, la cosa è dimostrata.
eeh si so che si puo fare cosi, ma mi piacerebbe fare qualcosa di un po piu elegante
Mah, se trovi un altro modo postalo che sono curioso, ciao
Per induzione bisogna dimostrare che:
\begin{align}
&\sum_{i = 1}^n i^4 = (n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1))/30\\
\\\text{o, equivalentemente che:}\\
&1+2^4+3^4+....+n^4 =\frac 1 {5}n^5+\frac 1 {2}n^4+\frac 1 {3}n^3-\frac 1 {30}n
\end{align}
-Base dell'induzione: per $n=1$:
\begin{align}
1=\frac 1 {30}\cdot2\cdot3\cdot5=1
\end{align}
che è banalmente verificata;
- Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione per $n$, e mostriamo che è vera per $n+1$, cioè:
\begin{align}
1+2^4+3^4+....+n^4+(n+1)^4 =\frac 1 {5}(n+1)^5+\frac 1 {2}(n+1)^4+\frac 1 {3}(n+1)^3-\frac 1 {30}(n+1)
\end{align}
questa uguaglianza è verificata se lo è la seguente uguaglianza:
\begin{align}\frac 1 {5}(n+1)^5+\frac 1 {2}(n+1)^4+\frac 1 {3}(n+1)^3-\frac 1 {30}(n+1)=\frac 1 {5}n^5+\frac 1 {2}n^4+\frac 1 {3}n^3-\frac 1 {30}n + (n+1)^4
\end{align}
e svolgendo i calcoli, si verifica che la proposizione vale per $n+1$ e dunque $\forall n.$
\begin{align}
&\sum_{i = 1}^n i^4 = (n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1))/30\\
\\\text{o, equivalentemente che:}\\
&1+2^4+3^4+....+n^4 =\frac 1 {5}n^5+\frac 1 {2}n^4+\frac 1 {3}n^3-\frac 1 {30}n
\end{align}
-Base dell'induzione: per $n=1$:
\begin{align}
1=\frac 1 {30}\cdot2\cdot3\cdot5=1
\end{align}
che è banalmente verificata;
- Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione per $n$, e mostriamo che è vera per $n+1$, cioè:
\begin{align}
1+2^4+3^4+....+n^4+(n+1)^4 =\frac 1 {5}(n+1)^5+\frac 1 {2}(n+1)^4+\frac 1 {3}(n+1)^3-\frac 1 {30}(n+1)
\end{align}
questa uguaglianza è verificata se lo è la seguente uguaglianza:
\begin{align}\frac 1 {5}(n+1)^5+\frac 1 {2}(n+1)^4+\frac 1 {3}(n+1)^3-\frac 1 {30}(n+1)=\frac 1 {5}n^5+\frac 1 {2}n^4+\frac 1 {3}n^3-\frac 1 {30}n + (n+1)^4
\end{align}
e svolgendo i calcoli, si verifica che la proposizione vale per $n+1$ e dunque $\forall n.$
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