Induzione
chi mi sa dimostrare sommatoria con k che va da 0 a n $2^k$=$2^(n+1)$$-1$
Risposte
Per $n=1$ è banalmente vero: $\sum_{k=0}^1 2^k = 3 = 2^2 -1 = 2^{1+1} -1$
Ora il passo induttivo: $\sum_{k=0}^{n+1} 2^k = 2^{n+1} + \sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1} + 2^{n+1} - 1 = 2*2^{n+1} - 1 = 2^{(n+1)+1} -1$
Dovrebbe andare così.
Ora il passo induttivo: $\sum_{k=0}^{n+1} 2^k = 2^{n+1} + \sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1} + 2^{n+1} - 1 = 2*2^{n+1} - 1 = 2^{(n+1)+1} -1$
Dovrebbe andare così.
Puoi dividere meglio passaggio per passaggio per favore.Grazie per la risposta intanto.
Beh mi sembra già abbastanza diviso 
La prima uguaglianza è tautologica, ho solo riscritto la somma mettendo in evidenza il termine $n+1$esimo.
La seconda è dove si applica il passaggio induttivo, ovvero noi abbiamo supposto che per $n$ generico la relazione data valga.
Nella terza ho trasformato la somma di due cose uguali in un prodotto per $2$ (aritmetica).
Nella quarta ho applicato il fatto che $2*2^t = 2^{t+1}$.
E ho raggiunto che mettendo $n+1$ al posto di $n$ nella tua formula iniziale, le cose continuano a funzionare.
La prima uguaglianza è tautologica, ho solo riscritto la somma mettendo in evidenza il termine $n+1$esimo.
La seconda è dove si applica il passaggio induttivo, ovvero noi abbiamo supposto che per $n$ generico la relazione data valga.
Nella terza ho trasformato la somma di due cose uguali in un prodotto per $2$ (aritmetica).
Nella quarta ho applicato il fatto che $2*2^t = 2^{t+1}$.
E ho raggiunto che mettendo $n+1$ al posto di $n$ nella tua formula iniziale, le cose continuano a funzionare.
ma quale elemento ci fa capire che $P(n+1)$ è dimostrata?
credo che il tuo problema sia sul procedimento.
Prima dovresti assicurarti di aver chiaro cosa si intende per "dimostrazione per induzione":
Se una proposizione $P$ è vera per un passo iniziale, per semplicità sia $P(1)$ vera come nella dimostrazione di Injo
e riesci a dire che vale la seguente affermazione: $\forall n\inNN, n>1\ \ $ Se $P(n)$ è vera $=>$ $P(n+1)$ è vera
riflettendoci un pò puoi facilmente capire che "a valanga" la proposizione diventa vera per ogni $k\in NN^+$
Prima dovresti assicurarti di aver chiaro cosa si intende per "dimostrazione per induzione":
Se una proposizione $P$ è vera per un passo iniziale, per semplicità sia $P(1)$ vera come nella dimostrazione di Injo
e riesci a dire che vale la seguente affermazione: $\forall n\inNN, n>1\ \ $ Se $P(n)$ è vera $=>$ $P(n+1)$ è vera
riflettendoci un pò puoi facilmente capire che "a valanga" la proposizione diventa vera per ogni $k\in NN^+$
[mod="Gugo82"]@Pallolo: sei nuovo, lo so; ma almeno una scorsa al regolamento l'hai data?
E questo riassuntino l'hai letto prima di postare?
Hai aperto due thread "uguali" (stesso argomento, l'induzione e le somme) nella stessa giornata e chiesto soluzioni di esercizi senza proporre tue idee...
Si dice "Chi ben comincia è a metà dell'opera"; tu non hai cominciato bene. Quindi ti consiglio di cambiare modo di postare in futuro.
Grazie.[/mod]
@ Fox e Injo: in futuro sareste tanto gentili da invogliare i neofiti a postare le loro idee prima di rivelare le soluzioni? Grazie.
E questo riassuntino l'hai letto prima di postare?
Hai aperto due thread "uguali" (stesso argomento, l'induzione e le somme) nella stessa giornata e chiesto soluzioni di esercizi senza proporre tue idee...
Si dice "Chi ben comincia è a metà dell'opera"; tu non hai cominciato bene. Quindi ti consiglio di cambiare modo di postare in futuro.
Grazie.[/mod]
@ Fox e Injo: in futuro sareste tanto gentili da invogliare i neofiti a postare le loro idee prima di rivelare le soluzioni? Grazie.
ok, giusto
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