Induzione
Salve ragazzi, non riesco a capire come si effettuano le dimostrazioni per induzione , c'è qualcuno che puo aiutarmi fornendomi la spiegazione di un esercizio e i relativi passaggi da effettuare?? Un esempio di esercizio è questo:
Dimostrare per induzione che per ogni n>=0
$ 2^n>=(n^2+1)/(n+3) $
Per favore spiegazioni semplici con passaggi evidenziati
Dimostrare per induzione che per ogni n>=0
$ 2^n>=(n^2+1)/(n+3) $
Per favore spiegazioni semplici con passaggi evidenziati
Risposte
No, qui non c'è nessuno che ti fornirà le spiegazioni che cerchi se non ci mostri esattamente dove ti blocchi. Il forum non è un risolutore automatico di esercizi, ma un posto di discussione formativa.
Qualche idea tua, please.
Grazie per la collaborazione.
Qualche idea tua, please.
Grazie per la collaborazione.
Ecco allora diciamo che riesco a dimostrare banalmente il caso base ma quando vado a dimostrare il tutto per n+1 cominciano a sorgere i dubbi. La domanda è quando si dimostra per n+1 quale è lo schema di passaggi che bisogna eseguire . O per lo meno quale strategia bisogna attuare in generale ??
Buon pomeriggio Paolo944
Purtroppo non riesco a risolvere il problema da te proposto come esempio
...
Comunque l' idea è: supponi vera la proposizione per per n, da questa proposizione devi far valere che la stessa vale se sostituisci a n, n+1.
La forma non deve cambiare in seguito alle manipolazioni matematiche , devi avere cioè
$ 2^(n+1)>=((n+1)^2+1)/(n+1+3)$
A chiacchiere , la successione di proposizioni
$ P_n:= 2^n>=(n^2+1)/(n+3) $.
Devi dimostrare che $P_n$ è induttiva ovvero che:
a) $ P_nrArr P_(n+1) $;
poi per concludere:
b) $n_0 in N$, $P_(n_0)$ vera;
pertanto la $P_n$ è certamente vera per tutti i naturali non inferiori a $n_0$.
Una successione di proposizioni che dipende da un indice è detta induttiva se vale $ P_nrArr P_(n+1) $;
la freccia è l' implicazione logica.
Per una successione di proposizioni induttiva si ha:
esiste un intero tale che la proposizione è vera per quest' intero e dunque per tutti gli interi successivi;
altrimenti è falsa per tutti gli interi.
Mi dispiace non poterti ulteriomente al momento aiutare.
Saluti
Mino
Purtroppo non riesco a risolvere il problema da te proposto come esempio
...Comunque l' idea è: supponi vera la proposizione per per n, da questa proposizione devi far valere che la stessa vale se sostituisci a n, n+1.
La forma non deve cambiare in seguito alle manipolazioni matematiche , devi avere cioè
$ 2^(n+1)>=((n+1)^2+1)/(n+1+3)$
A chiacchiere , la successione di proposizioni
$ P_n:= 2^n>=(n^2+1)/(n+3) $.
Devi dimostrare che $P_n$ è induttiva ovvero che:
a) $ P_nrArr P_(n+1) $;
poi per concludere:
b) $n_0 in N$, $P_(n_0)$ vera;
pertanto la $P_n$ è certamente vera per tutti i naturali non inferiori a $n_0$.
Una successione di proposizioni che dipende da un indice è detta induttiva se vale $ P_nrArr P_(n+1) $;
la freccia è l' implicazione logica.
Per una successione di proposizioni induttiva si ha:
esiste un intero tale che la proposizione è vera per quest' intero e dunque per tutti gli interi successivi;
altrimenti è falsa per tutti gli interi.
Mi dispiace non poterti ulteriomente al momento aiutare.
Saluti
Mino
Ho provato a risolvere l'esercizio, presa $ 2^n>=(n^2+1)/(n+3) $ come ipotesi induttiva e individuata la sua verità per $n=0$ si deve dimostrare la tesi induttiva $ 2^(n+1)>=((n+1)^2+1)/((n+1)+3) $
$ 2^(n+1)= 2*2^n$ che, per l'ipotesi induttiva, diventa
$2*2^n >= 2*(n^2+1)/(n+3)$ trasformo la frazione $(n^2+1)/(n+3)= n-3+10/(n+3)$ per cui
$2*(n^2+1)/(n+3)= 2*( n-3+10/(n+3)) = n-2+20/(n+3) +n-4$ per $n>=4$ è chiaro che vale
$n-2+20/(n+3) +n-4 >=n-2+20/(n+3) >= n-2+10/(n+4)=((n+1)^2+1)/(n+4)$ che è la tesi induttiva, verificata per $n>=4$.
Quando $1<= n <= 3$ è, invece, necessaria una verifica diretta della disuguaglianza $n-2+20/(n+3) +n-4>=((n+1)^2+1)/(n+4)$ o, in alternativa, della validità dell'ipotesi induttiva.
Ti chiederai come ho fatto a decidere cosa mettere in evidenza nel penultimo passaggio, semplicemente ho fatto la divisione $(n^2+2n+2)/(n+4)= n-2 + 10/(n+4)$ per capire come trasformare per ottenere la seconda parte.
$ 2^(n+1)= 2*2^n$ che, per l'ipotesi induttiva, diventa
$2*2^n >= 2*(n^2+1)/(n+3)$ trasformo la frazione $(n^2+1)/(n+3)= n-3+10/(n+3)$ per cui
$2*(n^2+1)/(n+3)= 2*( n-3+10/(n+3)) = n-2+20/(n+3) +n-4$ per $n>=4$ è chiaro che vale
$n-2+20/(n+3) +n-4 >=n-2+20/(n+3) >= n-2+10/(n+4)=((n+1)^2+1)/(n+4)$ che è la tesi induttiva, verificata per $n>=4$.
Quando $1<= n <= 3$ è, invece, necessaria una verifica diretta della disuguaglianza $n-2+20/(n+3) +n-4>=((n+1)^2+1)/(n+4)$ o, in alternativa, della validità dell'ipotesi induttiva.
Ti chiederai come ho fatto a decidere cosa mettere in evidenza nel penultimo passaggio, semplicemente ho fatto la divisione $(n^2+2n+2)/(n+4)= n-2 + 10/(n+4)$ per capire come trasformare per ottenere la seconda parte.
@melia nella dove scrivi che riduci la frazione :
$ (n^2+1)/(n+3)=n-3+10/(n+3) $
che cosa fai effettivamente? cioè che passaggio effettui
?
$ (n^2+1)/(n+3)=n-3+10/(n+3) $
che cosa fai effettivamente? cioè che passaggio effettui
?
"paolo944":
che cosa fai effettivamente? cioè che passaggio effettui
Fa il contrario di questo (cioè invece di sinistra/destra leggila da destra/sinistra) ...
$n-3+10/(n+3)=(n(n+3)-3(n+3)+10)/(n+3)=(n^2+3n-3n-9+10)/(n+3)= (n^2+1)/(n+3)$
Cordialmente, Alex
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