Individuazione Estremo superiore, Estremo inferiore

[Dino 921]

Salve a tutti
L'esercizio che vi propongo è il seguente:
dato
S= $ {1/n+(-1)^n} $ con $ in $
determinare estremo superiore ed estremo inferiore e stabilire se sono massimi o minimi.

Dunque, io empiricamente sono giunto alla conclusione che INF= -1 e SUP= 3/2 ; inoltre INF non è elemento minimo e SUP è elemento massimo.

E' corretto? La mia domanda è: come posso formalizzare il tutto? l'ideale sarebbe avere una risposta che mi esponga come si dovrebbe risolvere un esercizio del genere in sede d'esame.

ho provato a dimostrare che -1 è l' INF tramite la definizione di estremo inferiore, ma non ne sono venuto a capo.

credete di potermi essere d'aiuto?

[Seneca1]

Devi usare proprio le definizioni...

[Noisemaker]

Sia:
$S= {1/n+(-1)^n} $ con $n\in \mathbb{N} $

alcuni elementi dell'insieme sono:

$S= {0;1/2+1;1/3-1;1/4+1;1/5-1;.....}={0;3/2;-2/3;5/4;-4/5;.....}$

alllora possiamo distinguere i due casi a seconda che $(-1)^n$ assuma valori pari o dispari:

\begin{cases} S_p=\frac{1}{n}+1={\frac{3}{2};\frac{5}{4};\frac{4}{3}...}, & \mbox{se }n\mbox{ pari} \\S_d= \frac{1}{n}-1={0;-\frac{2}{3};-\frac{4}{5};-\frac{3}{4}...}, & \mbox{se }n\mbox{ dispari}

\end{cases}.

Cosinideriamo prima il caso in cui $n$ è pari;in tal caso si ha :

$S_p= {1/n+1}={3/2;5/4;4/3...} $: come si nota senza troppe fatiche, ogni elemento di questo insieme è certamente $>1$, e certamente minore di $3/2$: allora l'insieme $S_p$ in tal caso è limitato , e dunque ammette estremo superiore ed estremo inferiore:
verifichiamo che $3/2$ è l'estremo superiore: per definizione di estremo superiore abbiamo che :

$\rightarrow 3/2$ è certamente un maggiorante per l'insieme : infatti $\forall x\inS_p : x<3/2$

$\rightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \overlinex \inS_p : \SupS_p-\varepsilon<\overlinex\le\SupS_p$. infatti:

$3/2-\varepsilon<1/n+1 \Rightarrow n<\frac\{2}{1-2\varepsilon}$

l'ultima disuglauglianza ci dice che se noi prendiamo gli $n$ (pari) di $S_p$ più piccoli di $\frac\{2}{1-2\varepsilon}$ troveremo ancora (infiniti) punti di $S_p$ che non sono maggioranti di $S_p$; dunque solo $3/2$ è il piu piccolo dei maggioranti di $S_p$ e dunque, per definizione ne è il suo estremo supreiore. Inoltre, essendo $3/2$ elemento dell'insieme $S_p$, coincide proprio con il massimo allora , in definitiva,

$\SupS_p=3/2=\maxS$;

vediamo se $1$ è l'estremo inferiore; come prima, per definizione di inf si ha:

$\rightarrow$ $1$ è certamente un minorante per l'insieme : infatti $\forall x\inS_p : x>1$

$\rightarrow \forall \varepsilon>0, \exists \overlinex :\InfS_p\le\overlinex<\InfS_p+\varepsilon$. infatti:

$1/n+1 < 1+\varepsilon \Rightarrow n>\frac\{1}{\varepsilon}$

e quest'ultima disuguaglianza ci dice che se io prendo gli $n$ (pari) di $S_p$ più grandi di $\frac\{1}{\varepsilon}$ troverò ancora elementi di $S_p$ che sono minoranti di $S_p$ , e dunque ciò significa che $1$ è il più grande dei minoranti dell'insieme $S_p$ e dunque ne è il suo estremo inferiore.Il numero $1$ non appartine all'insieme $S_p$ , e dunque non può essere il suo minimo, in definitiva:

$\InfS_p=1$;


Cosinideriamo prima il caso in cui $n$ è disoari;in tal caso si ha :

$S_d= {1/n-1}={0;-2/3;-4/5;-6/7...}={0;-0.6;-0.8;-0.85...;...}$: come si può notare gli elementi dell' insieme sono certamnente $\le0$ e sembra che si avvicinino a $-1$
L'insieme dunque risulterebbe limitato da $0$ superiormente e da $-1$ inferiormente . Per verificare ciò, si osserva facilmente che $0$ è l'estremo superiore di $S_d$ : infatti ogni elemento $x\inS_d<0$, e dunque $0$ è un maggiorante per $S_d$; verifichiamo che è il più piccolo dei maggioranti, cioè

$ \forall \varepsilon>0, \exists \overlinex \inS_d : \SupS_d-\varepsilon<\overlinex\le\SupS_d$ , ovvero:

$0-\varepsilon<1/n-1\Rightarrow n<\frac{1}{1-varepsilon}$ , cioè per i valori di $n$ (dispari) più piccoli di $\frac{1}{1-varepsilon}$ troverò ancora infiniti punti che non sono maggioranti per $s_d$, e dunque $0$ è il più piccolo dei maggioranti , e duanque l' estremo superiore. In più essendo $0$ elemento dell'insieme , ne è il suo massimo:

$\SupS_d=0=\maxS_d$;

Vediamo ora se $-1$ è $\InfS_d$. Certamente ogni elemento $x\inS_d > -1$, e dunque $-1$ è un minorante per $S_d$; vediamo se è anche il più grande dei mioranti, cioè verifivhiamo che :

$\forall \varepsilon>0, \exists \overlinex :\InfS_d\le\overlinex<\InfS_d+\varepsilon$. infatti:

$1/n-1<\varepsilon-1\Rightarrow n>\frac\{1}{\varepsilon}$
e questa disuguaglianza ci dice che se scegliamo $n$ (dispari) più grande di $\frac\{1}{\varepsilon}$ otteniamo ancora infiniti punti che sono minoranti dell'insieme $S_d$, e duanque $-1$ è il più grande dei minoraniti e dunque è l'estremo inferiore; in definitiva , non appartenendo ad $S$ , $-1$ non può essere il minimo; allora si conclude che:

$\InfS_d=-1$;

Unundo i risultati ottenuti , otteniamo;

$\InfS_d=-1<\SupS_d=0=\maxS_d<\InfS_p=1<\SupS_p=3/2=\maxS$,
e concludendo:
$\InfS=-1$ e $\SupS=3/2=\maxS$

[Dino 921]

I miei complimenti: tutto chiarissimo ed esposto con una facilità e chiarezza di linguaggio impressionante. Ti dovrebbero fare una statua Grazie per la tua preziosa disponibilità