Indipendenza lineare....aiutoooo!!!

[miik91]

Ciao a tutti. Sto studiando da poco l algebra lineare, e sto letteralmente impazzendo. In particolare nn riesco proprio a capire bene il concetto di indipendenza e dipendenza lineare. Il problema è che non riesco a capire da un punto di vista grafico e geometrico come possa immaginarmi quando dei vettori sono linearmente dipendenti e quando non lo sono. Qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera semplice, magari con qualche esempio, e magari con qualche riferimento geometrico il significato di tutto ciò ?? mille grazie a tutti in anticipo.

[the.track]

Allora partiamo da esempi di facile rappresentazione. Poniamo di essere in

[math]\mathbb{R}^2[/math]

e questo come sai è uno spazio vettoriale su un campo (il campo dei reali).

Allora diremo che 2 vettori, ossia due segmenti orientati, sono paralleli o linearmente dipendenti se e solo se questi sono paralleli.

Vediamo cosa intendiamo:

Prendiamo due vettori nel piano cartesiano

[math]\(\mathbb{R}\)[/math]

:

[math]v_1=^t(1,2)[/math]

e

[math]v_2=^t(0,4)[/math]

la t sta per trasposto (ossia messo in verticale).

Allora disegna questi due vettori sul piano. Vedi subito che questi non sono paralleli. Infatti per definizione:

n vettori sono linearmente dipendenti se uno si può scrivere come combinazione lineare degli altri n-1.

Ma questo cosa significa?

[math]a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+...+a_{n-1}v_{n-1}+a_nv_n=0[/math]

Dove i coefficienti

[math]a_1,...,a_{n}[/math]

non sono tutti nulli.

Proviamo a vedere se è vero.

[math]a_1v_1+a_2v_2=0\right \;a_1^t(1,2)+a_2\;^t(0,4)=0[/math]

Possiamo scrivere quindi:

[math]^t(a_1,2a_1)+^t(0a_2,4a_2)=[/math]

Questo significa un sistema del tipo:

[math]\begin{case}
a_1=0a\\
2a_1=4a_2
\end{case}[/math]

Come puoi ben vedere il sistema ha soluzioni solamente nulle, ossia

[math]a_1=0,\; a_2=0[/math]

.

Questo per definizione implica che i due vettori sono linearmente indipendenti.

Prova a fare l'analogo ragionamento su

[math]\mathbb{R}^3 [/math]

e poi estrapola la situazione in

[math]\mathbb{R}^n[/math]

Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi chiedi.

[miik91]

grazie mille ora è già più chiaro...scusa se t rispondo soloora, ma ho avuto problemi con il pc