Indipendenza lineare tra funzioni: $x$ e $x^3$
Ciao! 
Ho questo esercizio:
io ho ragionato così, ma non so perché non sono molto sicuro del metodo, ma sopratutto di alcuni passaggi:
$F(x)=x$ e $G(x)=x^3$ sono linearmente DIPENDENTI, se e solo se, esistono $a,b$ appart. R, $(a,b)!=(0,0)$ t.c. per ogni $x$ appart. R: $ax+bx^3=0$
ovvero che il polinomio $P(x)=ax+bx^3$ è $P(x)=0$
Ora sono andato a risolvere $ax+bx^3=0$ ma credo che concettualmente io sbagli in quanto dato che devo verificare l'ipotesi $(a,b)!=(0,0)$, sto cercando (credo) due incognite e mi servirebbero quindi due equazioni..
non avendole io ho provato a pensarla in quest'altro modo che però credo non sia del tutto corretto matematicamente:
sono andato a cercare invece l'incognita $x$ e quindi:
$ax+bx^3=0$ = $x(a+bx^2)=0$ ovvero $x=0$ V $(a+bx^2)=0$
dai quali ottengo $x=0$ V $x^2= -(a/b)$. L'unico caso in cui il rapporto -(a/b)=$x^2$ e quando $a$ e $b$ sono = 0
e quindi essendo $(a,b)=(0,0)$ diversa dall'ipotesi $(a,b)!=(0,0)$ ---> F, G sono linearmente INDIPENDENTI
Ditemi se, e dove sbaglio (ma non siate troppo cattivi)
Grazie in anticipo
Ho questo esercizio:
Siano $F(x)=x$ e $G(x)=x^3$, con $F,G: R -> R$
F, G appart. $C^1$ (R,R), sono linearmente INDIPENDENTI?
io ho ragionato così, ma non so perché non sono molto sicuro del metodo, ma sopratutto di alcuni passaggi:
$F(x)=x$ e $G(x)=x^3$ sono linearmente DIPENDENTI, se e solo se, esistono $a,b$ appart. R, $(a,b)!=(0,0)$ t.c. per ogni $x$ appart. R: $ax+bx^3=0$
ovvero che il polinomio $P(x)=ax+bx^3$ è $P(x)=0$
Ora sono andato a risolvere $ax+bx^3=0$ ma credo che concettualmente io sbagli in quanto dato che devo verificare l'ipotesi $(a,b)!=(0,0)$, sto cercando (credo) due incognite e mi servirebbero quindi due equazioni..
non avendole io ho provato a pensarla in quest'altro modo che però credo non sia del tutto corretto matematicamente:
sono andato a cercare invece l'incognita $x$ e quindi:
$ax+bx^3=0$ = $x(a+bx^2)=0$ ovvero $x=0$ V $(a+bx^2)=0$
dai quali ottengo $x=0$ V $x^2= -(a/b)$. L'unico caso in cui il rapporto -(a/b)=$x^2$ e quando $a$ e $b$ sono = 0
e quindi essendo $(a,b)=(0,0)$ diversa dall'ipotesi $(a,b)!=(0,0)$ ---> F, G sono linearmente INDIPENDENTI
Ditemi se, e dove sbaglio (ma non siate troppo cattivi)
Grazie in anticipo
Risposte
La questione è più semplice di quel che credi. Devi verificare se esistono $a,b in RR - {0}$ tali che $a x + b x^3$ è la funzione identicamente nulla. Allora supponi $a != 0$ o $b != 0$. Può mai essere $a x + b x^3$ il polinomio nullo?
EDIT: Ho corretto una svista.
EDIT: Ho corretto una svista.
mmm.. credo di si, ovvero quando x=0. Ed a pensarci bene non può essere tra l'altro b=0 in $-a/b$ in quanto $0/0$ è una forma indeterminata che non appartiene a R..
quindi in sostanza come trovo $a$ e $b$? O meglio, come verifico se esistono tali che la funzione sia identicamente nulla?
quindi in sostanza come trovo $a$ e $b$? O meglio, come verifico se esistono tali che la funzione sia identicamente nulla?
"Seneca":
Può mai essere $a x + b x^3$ il polinomio nullo?
Sbagli. La scelta non è sull'indeterminata $x$ ma sui coefficienti della combinazione lineare $a,b$.
Supponi per assurdo che $a x + b x^3 = 0$ con almeno uno dei due coefficienti diverso da $0$ (p.es. $b != 0$).
Questo significa che $P(x) = a x + b x^3$ è il polinomio nullo. D'altra parte $b != 0$ ti dice che $P$ ha grado 3.
... [url]http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_dell'algebra[/url]
e quindi deduco che il polinomio è uguale a 0 solo quando entrambi i coefficienti sono uguali a 0. E basta?
Comunque ho risposto con "penso di si" perchè ho letto "supponi $a!=0$ e $b!=0$" anzichè "supponi $a!=0$ o $b!=0$".. errore di svista
Comunque ho risposto con "penso di si" perchè ho letto "supponi $a!=0$ e $b!=0$" anzichè "supponi $a!=0$ o $b!=0$".. errore di svista
Uno può anche fare a meno del Principio d'Identità dei Polinomi.
Basta procedere come segue.
Si vogliono determinare due scalari tali che la funzione \(f(x):=\alpha x+\beta x^3\) sia identicamente nulla in \(\mathbb{R}\).
Se la \(f\) è identicamente nulla, anche la sue derivata \(f^\prime (x):=\alpha +3\beta x^2\) è identicamente nulla.
Posto \(x=1\), dalla nullità di \(f\) ed \(f^\prime\) si ricavano le due equazioni:
\[
\begin{cases} \alpha +\beta =0 \\ \alpha +3\beta =0\end{cases}
\]
Il sistema precedente è lineare ed omogeneo e la matrice dei coefficienti ha rango massimo, ergo esso ha la sola soluzione banale, cioè \(\alpha =0=\beta\).
Rimane così dimostrato che se la combinazione lineare \(f\) è nulla (come funzione, ossia identicamente nulla), allora \(\alpha\) e \(\beta\) sono due costanti nulle.
Basta procedere come segue.
Si vogliono determinare due scalari tali che la funzione \(f(x):=\alpha x+\beta x^3\) sia identicamente nulla in \(\mathbb{R}\).
Se la \(f\) è identicamente nulla, anche la sue derivata \(f^\prime (x):=\alpha +3\beta x^2\) è identicamente nulla.
Posto \(x=1\), dalla nullità di \(f\) ed \(f^\prime\) si ricavano le due equazioni:
\[
\begin{cases} \alpha +\beta =0 \\ \alpha +3\beta =0\end{cases}
\]
Il sistema precedente è lineare ed omogeneo e la matrice dei coefficienti ha rango massimo, ergo esso ha la sola soluzione banale, cioè \(\alpha =0=\beta\).
Rimane così dimostrato che se la combinazione lineare \(f\) è nulla (come funzione, ossia identicamente nulla), allora \(\alpha\) e \(\beta\) sono due costanti nulle.
posso usare anche il Wronskiano (che poi è molto simile al metodo di Gugo, che come sempre sa tutto 
)
)
Non è necessario ricorrere alle derivate.
Se ax + b x^3 è il polinomio identicanente nullo, allora vale zero in ogni punto (ma va?).
Quindi vuol dire che (lo calcolo nel punto 1 e nel punto 2):
a 1 + b 1 = 0
a 2 + b 8 = 0
Già queste sono sufficienti per obbligare a e b ad essere uguali a zero.
Se ax + b x^3 è il polinomio identicanente nullo, allora vale zero in ogni punto (ma va?).
Quindi vuol dire che (lo calcolo nel punto 1 e nel punto 2):
a 1 + b 1 = 0
a 2 + b 8 = 0
Già queste sono sufficienti per obbligare a e b ad essere uguali a zero.
vero.. anche a questo non avevo pensato.. siete troppo geniacci
e come giustamente leggo... "cannot live without" (poi va bhè, il prof. Patrone è un idolo per noi giovani oscuri alla matematica xD)
P.S. Ma è vera la storia che Gugo non parteciperà piu al forum?? Nooo :'( Come faremo senza? Lui è il nostro mentore, la nostra aspirazione matematica di vita, un giovane che è LA matematica!!! Non ci abbandonare alla nostra ignoranza!! :'(
e come giustamente leggo... "cannot live without" (poi va bhè, il prof. Patrone è un idolo per noi giovani oscuri alla matematica xD)
P.S. Ma è vera la storia che Gugo non parteciperà piu al forum?? Nooo :'( Come faremo senza? Lui è il nostro mentore, la nostra aspirazione matematica di vita, un giovane che è LA matematica!!! Non ci abbandonare alla nostra ignoranza!!
:'(
[OT]
E che sò diventato, Gesù?!?!
E comunque, no.
Sto partecipando, anche se meno di prima.
Per un periodo ho dovuto mollare un po', e non è detto che non succederà più in futuro.
[/OT]
@FP: Giusto, si può anche fare a meno delle derivate.
"mikelozzo":
P.S. Ma è vera la storia che Gugo non parteciperà piu al forum?? Nooo :'( Come faremo senza? Lui è il nostro mentore, la nostra aspirazione matematica di vita, un giovane che è LA matematica!!! Non ci abbandonare alla nostra ignoranza!!
E che sò diventato, Gesù?!?!
E comunque, no.
Sto partecipando, anche se meno di prima.
Per un periodo ho dovuto mollare un po', e non è detto che non succederà più in futuro.
[/OT]
@FP: Giusto, si può anche fare a meno delle derivate.
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