Indipendenza lineare ( equazioni differenziali)

[streghettaalice]

Salve,
nella dimostrazione del teorema sulle equazioni differenziali a coefficenti costanti, ho che se $ \lambda $ è soluzione del polinomio caratteristico allora lho soluzioni dell'equazione omogenea $ e^(x\lambda) ,...,x^(m-1)e^(x\lambda)$ per dimostrare che sono linearmente indipendenti viene detto:
sia dato $c_0 ( e^(x\lambda))+c_1 (e^(x\lambda)x)+.....=0$
-x=0 ottengo c_0=0
- deriviamo ottenedo $c_1 (e^(x\lambda)x)(e^(x\lambda))+...$ e per x=0 ottengo c_1=0
cosi via..
Ma non è sbagliato? perchè io devo dimostrare che $c_0=c_1=..=0$ per ogni x non per una x in particolare..

[robbstark1]

Il fatto è che sicuramente se poni tutti i coefficienti della combinazione nulli, ovviamente l'uguaglianza è verificata per tutti gli $x$.
Devi provare che non esistono altri valori dei coefficienti che soddisfano l'uguaglianza per tutti gli $x$.
Per fare questo provi a ricavare i possibili coefficienti per una $x$ in particolare che ti fa comodo. Trovi ad esempio che affinché l'uguaglianza sia soddisfatta in $x=0$ tutti i coefficienti devono essere nulli.
Allora non esistono possibili combinazioni di coefficienti non tutti nulli che soddisfano l'uguaglianza per tutte le $x$, perché sicuramente non la soddisferebbero almeno per $x=0$.
Spero di essere stato chiaro.