Indipendenza lineare di funzioni continue
Avrei bisogno di dimostrare che l'insieme
${sin(nx)\ |\ n\inNN, n!=0}\ \sub\ C(RR\toRR)$
è linearmente indipendente. Ho scelto di usare un procedimento induttivo: $sin(1x)$ è l.i. [(edit) meglio: $sin\ x, sin\ 2x$ sono lin.ind. - segue dalla formula di duplicazione], perciò resta da dimostrare che $sin[(n+1)x]\notin"span"(sin\ x, sin\ 2x, \ldots, sin\ nx)$.
Quindi tutto sta nel mostrare che l'equazione in $lambda_1,ldots,lambda_n$
(*) $sin[(n+1)x]=lambda_1sin\ x+ lambda_2sin\ 2x+ldots+lambda_nsin\ nx$
non ha soluzione. E purtroppo su questo punto incontro difficoltà.
Quello che mi piacerebbe ricevere non è la soluzione del problema ma qualche illuminazione perché poi possa risolverlo da solo.
Ad esempio, avevo pensato a due strade:
1) Assegnando ad entrambi i membri della (*) una opportuna scelta di $n$ valori per la $x$, otteniamo un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite. Se questo è incompatibile abbiamo finito.
2) Le funzioni coinvolte sono periodiche. A primo membro nella (*) c'è una funzione di periodo $(2pi)/(n+1)$, mentre a secondo membro c'è una combinazione lineare di funzioni di periodo più lungo (da $2pi$ a $(2pi)/(n)$). Intuitivamente dico che sommando funzioni periodiche, non possiamo ottenere funzioni di periodo più corto, e se questo fosse vero avremmo finito.
${sin(nx)\ |\ n\inNN, n!=0}\ \sub\ C(RR\toRR)$
è linearmente indipendente. Ho scelto di usare un procedimento induttivo: $sin(1x)$ è l.i. [(edit) meglio: $sin\ x, sin\ 2x$ sono lin.ind. - segue dalla formula di duplicazione], perciò resta da dimostrare che $sin[(n+1)x]\notin"span"(sin\ x, sin\ 2x, \ldots, sin\ nx)$.
Quindi tutto sta nel mostrare che l'equazione in $lambda_1,ldots,lambda_n$
(*) $sin[(n+1)x]=lambda_1sin\ x+ lambda_2sin\ 2x+ldots+lambda_nsin\ nx$
non ha soluzione. E purtroppo su questo punto incontro difficoltà.
Quello che mi piacerebbe ricevere non è la soluzione del problema ma qualche illuminazione perché poi possa risolverlo da solo.
Ad esempio, avevo pensato a due strade:
1) Assegnando ad entrambi i membri della (*) una opportuna scelta di $n$ valori per la $x$, otteniamo un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite. Se questo è incompatibile abbiamo finito.
2) Le funzioni coinvolte sono periodiche. A primo membro nella (*) c'è una funzione di periodo $(2pi)/(n+1)$, mentre a secondo membro c'è una combinazione lineare di funzioni di periodo più lungo (da $2pi$ a $(2pi)/(n)$). Intuitivamente dico che sommando funzioni periodiche, non possiamo ottenere funzioni di periodo più corto, e se questo fosse vero avremmo finito.
Risposte
Io seguirei la 1), anche se promette di essere pallosa...
prima di andare avanti, per potermi rendere conto se posso essere utile oppure il problema non è alla mia portata, avrei bisogno di qualche chiarimento.
mi pare di aver capito che devi dimostrare che l'equazione (*) non ha soluzione (in R?) per ogni scelta di n intero positivo. è così?
avendo però letto, con non molta attenzione "... per una opportuna scelta di n ... abbiamo finito." mi è venuto un dubbio: la cosa che devi dimostrare sai già che è vera oppure potrebbe non essere vera e quindi basterebbe trovare un controesempio per eventualmente provarne la non veridicità?
o forse non ho capito che cosa va dimostrato?
ciao.
mi pare di aver capito che devi dimostrare che l'equazione (*) non ha soluzione (in R?) per ogni scelta di n intero positivo. è così?
avendo però letto, con non molta attenzione "... per una opportuna scelta di n ... abbiamo finito." mi è venuto un dubbio: la cosa che devi dimostrare sai già che è vera oppure potrebbe non essere vera e quindi basterebbe trovare un controesempio per eventualmente provarne la non veridicità?
o forse non ho capito che cosa va dimostrato?
ciao.
E' vera, la proprietà.
Piuttosto, riguardando, forse la dim della indipendenza lineare è più comoda che non far vedere che la (n+1)-esima non sta nello span.
Piuttosto, riguardando, forse la dim della indipendenza lineare è più comoda che non far vedere che la (n+1)-esima non sta nello span.
ciao! Sul fatto che la cosa sia vera non c'è dubbio, fa parte di un esercizio. Inoltre non penso che ci siano errori nella traccia, questo risultato lo avevo già orecchiato da qualche altra parte. Ed infine, intuitivamente mi pare plausibile (vedi 2) del mio post precedente).
Io vorrei dimostrare che non esistono n-uple $(lambda_1, \ldots, lambda_n)$ tali che, $forall n\inNN, n!=0, \forall x\inRR$ sia vera la (*).
Il fatto di assegnare dei valori penso che sia il modo più "standard": se (*) fosse vera su tutto $RR$, lo sarebbe su una scelta di un numero finito di valori per la x. Mi viene in mente di usare come valori ${pi/2, ldots, (pi)/(n+1)}$, però poi non so come procedere.
(edit) scrivevo in contemporanea con F.P., mi riferisco al messaggio di adaBTTLS.
Io vorrei dimostrare che non esistono n-uple $(lambda_1, \ldots, lambda_n)$ tali che, $forall n\inNN, n!=0, \forall x\inRR$ sia vera la (*).
Il fatto di assegnare dei valori penso che sia il modo più "standard": se (*) fosse vera su tutto $RR$, lo sarebbe su una scelta di un numero finito di valori per la x. Mi viene in mente di usare come valori ${pi/2, ldots, (pi)/(n+1)}$, però poi non so come procedere.
(edit) scrivevo in contemporanea con F.P., mi riferisco al messaggio di adaBTTLS.
sì, grazie ad entrambi. adesso è più chiaro. solo che, avendo una combinazione, a me verrebbe più spontaneo esaminare a parte il caso n=1, cioè n+1=2, ed effettivamente, con la formula di duplicazione, si vede subito che la tesi è vera se l'uguaglianza deve essere verificata $AA x in RR$, altrimenti non varrebbe.
può servire a qualcosa l'uso delle formule di addizione del seno? bisognerebbe dimostrare una cosa analoga anche per il coseno?
per quanto riguarda la strada 2), se non sbaglio si è parlato nel forum un po' di tempo fa (forse un mese fa!) del legame tra i periodi di funzioni periodiche.
potresti vedere con la funzione Cerca.
ciao.
può servire a qualcosa l'uso delle formule di addizione del seno? bisognerebbe dimostrare una cosa analoga anche per il coseno?
per quanto riguarda la strada 2), se non sbaglio si è parlato nel forum un po' di tempo fa (forse un mese fa!) del legame tra i periodi di funzioni periodiche.
potresti vedere con la funzione Cerca.
ciao.
ciao adaBTTLS, ho fatto come suggerivi tu e ho usato la funzione "cerca", andando a pescare questo messaggio che riporto:
questo concluderebbe il discorso con la strada 2), ma c'è da fare ancora del lavoro. Presumo che con m.c.m. Camillo intendesse dire:
"Camillo":
Se invece si avesse una funzione somma di due funzioni periodiche con periodo diverso, allora il periodo della funzione è il m.c.m. dei periodi delle singole funzioni .
questo concluderebbe il discorso con la strada 2), ma c'è da fare ancora del lavoro. Presumo che con m.c.m. Camillo intendesse dire:
- siano $f,g:RR->RR$, $f$ sia $nT$-periodica, $g$ sia $mT$-periodica, con $T>0$, $n,m$ interi positivi, $n!=m$. Allora $f+g$ è periodica di periodo $"mcm"(n,m)*T$. [/list:u:31w1dfvv]
Dico questo perché se poniamo $M:="mcm"(m,n), M=m*h=n*k, "per opportuni " h,k\inZZ$, allora
$f(x+MT)=f(x+h(mT))=f(x+mT+mT+ldots+mT)=f(x), \forallx\inRR$.
Analogamente $g(x+MT)=g(x), \forallx\inRR$. E quindi
$(f+g)(x+MT)=(f+g)(x)$.
Il vero guaio è dimostrare che $MT$ è il minimo tra i reali che verificano questa equazione $\forallx$.
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Usare le formule di addizione come dici tu è una strada a cui non avevo pensato.
Se ho capito bene, tu mi suggerisci di usare la $sin[(n+1)x]=sin(x+nx)$ e quindi con le formule di addizione "abbassarmi" da $n+1$ ad $n$, e poi usare il principio di induzione. Giusto? In effetti potrebbe funzionare.
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Se invece volessimo fare come suggerisce F.P., si tratterebbe di porre
$lambda_1sin\ x+ldots+lambda_nsin\ nx=0$, con $n\inNN$
e dimostrare che necessariamente tutti i $lambda$ sono nulli. Penso che la maniera più ovvia sia di valutare i $sin$ per $x= pi/2, pi/3, ldots, pi/(n+1)$, ottenendo $n$ equazioni, e dimostrare che ammettono solo la soluzione nulla.
per quanto riguarda la funzione cerca, ricordo che c'era anche qualsos'altro nel forum, però penso che la proprietà che hai trovato ti sia utile se confronti il periodo di $sen[(n+1)x]$ con gli altri. noto una vaga somiglianza con il metodo F.P. schematizzato da te: in fondo i periodi sono $2pi, pi, 2pi/3, pi/2, 2pi/5, pi/3,....$.
per quanto riguarda le formule di addizione, hai capito bene quello che intendevo. a me hanno ispirato di più perché, mentre non mi era chiaro il testo, la formula di duplicazione (che secondo me va usata, perché se si parla di combinazione lineare, mi pare un po' riduttivo non considerare n=1, quindi n+1=2 come punto di partenza, come primo elemento usando il metodo d'induzione) mi è stata utile per capire che la (*) doveva essere verificata per ogni x.
secondo me, non hai che l'imbarazzo della scelta.
ciao.
per quanto riguarda le formule di addizione, hai capito bene quello che intendevo. a me hanno ispirato di più perché, mentre non mi era chiaro il testo, la formula di duplicazione (che secondo me va usata, perché se si parla di combinazione lineare, mi pare un po' riduttivo non considerare n=1, quindi n+1=2 come punto di partenza, come primo elemento usando il metodo d'induzione) mi è stata utile per capire che la (*) doveva essere verificata per ogni x.
secondo me, non hai che l'imbarazzo della scelta.
ciao.
"adaBTTLS":
...la formula di duplicazione (che secondo me va usata, perché se si parla di combinazione lineare, mi pare un po' riduttivo non considerare n=1, quindi n+1=2 come punto di partenza...
...è stata una mia imprecisione. in effetti stiamo considerando solo $n!=0$, quindi se parlo di $sin[(n+1)x]$ la base dell'induzione deve essere l'indipendenza lineare di $sin(2x), sin(x)$. l'avevi fatto notare anche prima ma mi ero dimenticato di correggere, rimedio subito. grazie e ciao!
prego. ciao.
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