Indice di avvolgimento / Funzioni multivoche
Definizione: se $gamma:[a,b]\toCC$ è un circuito regolare a tratti, definiamo $"Ind"_gamma(z)=1/(2pii)int_gamma("d"zeta)/(zeta-z)$.
Facendo un po' di calculus si dimostra che questa funzione è costante sulle componenti connesse di $CC-gamma^(**)$ ($gamma^(**)=gamma([a, b])$) e vale zero sull'unica comp.connessa non limitata.
Inoltre questa funzione "conta il numero di volte che $gamma$ si avvolge intorno a $z$". Vorrei approfondire (mi basta un livello intuitivo) questo fatto.
Riesco ad intuire che il termine $zeta-z$ va pensato come un vettore applicato, che spicca da $z$ per arrivare sul punto mobile $zeta$ lungo il circuito. Quindi questo fantomatico "numero di volte che $gamma$ si avvolge intorno a $z$" presumo sia collegato con l'argomento complesso di $zeta-z$. Forse è l'ampiezza totale, diviso $2pi$, dell'intervallo che l'argomento di $zeta-z$ ricopre quando $zeta$ varia lungo $gamma$?
Se fosse così, allora devo pensare che $1/(zeta-z)$ salta fuori come derivata di $log_0$, inteso come il logaritmo principale. (Per "logaritmo principale" intendo l'inversa di $exp$ sulla striscia $RRtimes[-pi, pi)$).
Quanto c'è di vero in queste elucubrazioni?
[edit] Mi ero scordato il $1/(2pii)$ - grazie Augosoma per la segnalazione!
[ri-edit] Modificato il titolo.
______________________
P.S.:Ho pensato a $log$ perché se non ho capito male, per ogni $w!=0$, $log_0 w=log(|w|)+"arg"_0(w)$, dove $log$ indica il logaritmo reale, e $"arg"_0$ quell'unico numero reale compreso tra $[-pi, pi)$ tale che $|w|"exp"(i"arg"_0w)=w$.
Facendo un po' di calculus si dimostra che questa funzione è costante sulle componenti connesse di $CC-gamma^(**)$ ($gamma^(**)=gamma([a, b])$) e vale zero sull'unica comp.connessa non limitata.
Inoltre questa funzione "conta il numero di volte che $gamma$ si avvolge intorno a $z$". Vorrei approfondire (mi basta un livello intuitivo) questo fatto.
Riesco ad intuire che il termine $zeta-z$ va pensato come un vettore applicato, che spicca da $z$ per arrivare sul punto mobile $zeta$ lungo il circuito. Quindi questo fantomatico "numero di volte che $gamma$ si avvolge intorno a $z$" presumo sia collegato con l'argomento complesso di $zeta-z$. Forse è l'ampiezza totale, diviso $2pi$, dell'intervallo che l'argomento di $zeta-z$ ricopre quando $zeta$ varia lungo $gamma$?
Se fosse così, allora devo pensare che $1/(zeta-z)$ salta fuori come derivata di $log_0$, inteso come il logaritmo principale. (Per "logaritmo principale" intendo l'inversa di $exp$ sulla striscia $RRtimes[-pi, pi)$).
Quanto c'è di vero in queste elucubrazioni?
[edit] Mi ero scordato il $1/(2pii)$ - grazie Augosoma per la segnalazione!
[ri-edit] Modificato il titolo.
______________________
P.S.:Ho pensato a $log$ perché se non ho capito male, per ogni $w!=0$, $log_0 w=log(|w|)+"arg"_0(w)$, dove $log$ indica il logaritmo reale, e $"arg"_0$ quell'unico numero reale compreso tra $[-pi, pi)$ tale che $|w|"exp"(i"arg"_0w)=w$.
Risposte
Non sono propriamente un esperto di questo campo, ma ricordo che nelle lezioni di elettetrotecnica si usava un simile calcolo per il calcolo delle induttanze generate da un filo avvolto. Forse ti potrebbe essere utile dare una occhiata proprio a quel tipo di esempi.
ciao,
Occhio che è
$Ind_(gamma)(z)=1/(2pi i)int_(gamma)(d\zeta)/(\zeta-z)$
anch'io tendo spesso a dimenticarlo il $2pi i$
Cmq tornando al problema, il ragionamento che fai è corretto potresti provare a dimostrarlo direttamente scrivendo
$\zeta-z=rho(t)exp(i\theta(t))$
vedrai che l'integrale si spezzerà in due parti una che va a zero e l'altra sarà proprio l'incremento di $\theta$.
Se hai dubbi famm sapere.
Occhio che è
$Ind_(gamma)(z)=1/(2pi i)int_(gamma)(d\zeta)/(\zeta-z)$
anch'io tendo spesso a dimenticarlo il $2pi i$
Cmq tornando al problema, il ragionamento che fai è corretto potresti provare a dimostrarlo direttamente scrivendo
$\zeta-z=rho(t)exp(i\theta(t))$
vedrai che l'integrale si spezzerà in due parti una che va a zero e l'altra sarà proprio l'incremento di $\theta$.
Se hai dubbi famm sapere.
Quanto c'è di vero in queste elucubrazioni?
Parecchio
Vedi se quello che segue risponde alle tue domandePer fissare le idee prendiamo $z_0=0$.
Prendiamo come curva la circonferenza che fa un giro attorno all'origine: $\gamma(t)=e^{it}$ con $-\pi\leq t \leq \pi$.
Se la funzione $f(z)=1/z$ avesse una primitiva allora $\int_{\gamma}f=0$, dato che $\gamma$ e' una curva chiusa (indipendentemente dal "buco" in zero).
Ma naturalmente $f$ non ammette primitiva in $CC\setminus{0}$.
"Apriamo" la curva passando a $\gamma_\epsilon$ definita da $\gamma_\epsilon(t)=e^{it}$ con $-\pi+\epsiloni\leq t \leq \pi-\epsilon$.
$\gamma_\epsilon$, che non e' piu' chiusa, ha supporto in $CC\setminus]-\infty,0]$ ($CC$ privato dei reali minori o eguali a zero) - in
questo insieme $f$ ammette una primitiva e cioe' la determinazione del logaritmo fatta con l'argomento principale $ln_0(z)=\ln(|z|)+iArg_0(z)$.
Allora $\int_{\gamma_\epsilon}f=\ln_0(\gamma_\epsilon(\pi-\epsilon))-\ln_0(\gamma_\epsilon(-\pi+\epsilon))=(2\pi-2\epsilon)i$. Se $\epsilon\to0$
ottieni $\int_{\gamma}f=2\pi i$.
Questo calcolo fa vedere che $\int_{\gamma}f$ e' la differenza agli estremi (che coincidono tutti e due con $-1$ !) della primitiva di $1/z$, che pero' "non e' la stessa"
se ci arrivi da una parte o dall'altra - una volta $ln(-1)=\pi$, l'altra e' $-\pi$. Se poi si gira piu' volte la corretta deteminazione da usare dipende dal numero di giri che fa la curva.
Penso si possa dire che quasi tutte le formule dell'analisi complessa sono "flglie" del fatto che il logaritmo complesso e' una funzione multivoca (mentre tutte le altre potenze intere $z^k$
con $k\ne -1$ ammettono primitiva - questo spiega perche' il residuo e' il coefficiente di ordine $-1$)
@ Augosoma: quindi tu mi consigli di passare dalle coordinate polari... la cosa mi sconfinfera assai ma c'è qualcosa che non mi quadra e non capisco dove sbaglio.
Dunque, vogliamo calcolare $1/(2pii)int_{gamma}("d"zeta)/(zeta-z)$. Supponiamo $gamma:[0,1]\toCC$ e allora l'integrale diventa $1/(2pii)int_0^1(dotgamma(t))/(gamma(t)-z)"dt"$. Qui applico il tuo suggerimento: esprimo $gamma(t)-z$ in coordinate polari, allora abbiamo che $gamma(t)-z=rho(t)e^(itheta(t))$, da cui $dotgamma(t)=dotrho(t)e^(itheta(t))+irho(t)e^(itheta(t))dottheta(t)$. La variabile $t$ continua a viaggiare tra 0 e 1.
L'integrale diventa allora $1/(2pii)int_0^1(dotrho(t)e^(itheta(t))+irho(t)e^(itheta(t))dottheta(t))/(rho(t)e^(itheta(t)))"dt"$, e semplificando il semplificabile otteniamo:
Dunque, vogliamo calcolare $1/(2pii)int_{gamma}("d"zeta)/(zeta-z)$. Supponiamo $gamma:[0,1]\toCC$ e allora l'integrale diventa $1/(2pii)int_0^1(dotgamma(t))/(gamma(t)-z)"dt"$. Qui applico il tuo suggerimento: esprimo $gamma(t)-z$ in coordinate polari, allora abbiamo che $gamma(t)-z=rho(t)e^(itheta(t))$, da cui $dotgamma(t)=dotrho(t)e^(itheta(t))+irho(t)e^(itheta(t))dottheta(t)$. La variabile $t$ continua a viaggiare tra 0 e 1.
L'integrale diventa allora $1/(2pii)int_0^1(dotrho(t)e^(itheta(t))+irho(t)e^(itheta(t))dottheta(t))/(rho(t)e^(itheta(t)))"dt"$, e semplificando il semplificabile otteniamo:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad"Ind"_gamma(z)=1/(2pii)int_0^1[(dot(rho)(t))/(rho(t))+idot(theta)(t)]"dt"$.[/list:u:19p2hwk7]
che inizia a suggerire qualcosa. Dei due integrali risultanti, quello in $rho(t)$ non sopravvive: $[log(rho(t))]_0^1=0$, perché la curva $gamma$ è chiusa e quindi $rho(0)=rho(1)$. Fin qui, tutto va bene, ma ....:
Anche l'integrale in $theta$ non dovrebbe sopravvivere, sempre per lo stesso motivo! Infatti $1/(2pii)int_0^1idot(theta(t))"dt"=1/(2pi)[theta(t)]_0^1$, e pure per $theta$ deve valere che $theta(0)=theta(1)$. Chiaro che in quest'ultima frase c'è un errore: è sbagliata l'impostazione di $theta(t)$ come funzione a valori in $[0, 2pi)$. Obbligando $theta$ a vivere in un intervallo limitato, introduco anche delle discontinuità, di cui devo tenere conto pena l'errore di cui sopra.
Ma come posso fare? Devo supporre che $theta$ vari liberamente in un intervallo illimitato? Oppure devo intendere che l'integrale finale mi dà esattamente il conto di quante discontinuità sono state incrociate da $theta$ nel procedere da $t=0$ a $t=1$?
P.S.: Oyè! Ho scritto contemporaneamente a V.G. . Ecco perché sembra che io stia ignorando il suo intervento, che adesso mi vado a leggere.
L'errore che commetti sta nel fatto che $\theta(0)=\theta(1)$ è possibile ma non sempre vera perchè $\theta$ rappresenta l'"argomento" della curva nel senso che tornando al punto di partenza non è necessariamente uguale:
$rho(0)exp(i\theta(0))=rho(1)exp(i\theta(1))$
implica $rho(0)=rho(1)
ed $exp(i(\theta(1)-\theta(0)))=1
cioè $\theta(1)-\theta(0)=2pik \ con \ kinZZ
spero di averti chiarito il dubbio..
$rho(0)exp(i\theta(0))=rho(1)exp(i\theta(1))$
implica $rho(0)=rho(1)
ed $exp(i(\theta(1)-\theta(0)))=1
cioè $\theta(1)-\theta(0)=2pik \ con \ kinZZ
spero di averti chiarito il dubbio..
@Augosoma: sì, grazie, credo di avere capito. Quando dico $(zeta-z)=rho(t)"exp"(itheta(t))$, non devo supporre $theta(t)\in[0, 2pi]$, ma $theta(t)\inRR$.
Quindi la $(zeta-z)=rho(t)"exp"(itheta(t))$ va letta così: poniamo $(zeta-z)$ uguale ad una funzione della variabile reale $t$, continua per $t\in[0,1]$, e della forma $rho(t)"exp"(itheta(t))$. Non devo imporre a $theta$ di "saltare" quando raggiunge i bordi dell'intervallo $[0, 2pi]$. Si tratta di dimostrare però che esiste una funzione $theta$ fatta così. Ma riesco ad intuire che sia vero, e mi basta per il momento.
Quindi la $(zeta-z)=rho(t)"exp"(itheta(t))$ va letta così: poniamo $(zeta-z)$ uguale ad una funzione della variabile reale $t$, continua per $t\in[0,1]$, e della forma $rho(t)"exp"(itheta(t))$. Non devo imporre a $theta$ di "saltare" quando raggiunge i bordi dell'intervallo $[0, 2pi]$. Si tratta di dimostrare però che esiste una funzione $theta$ fatta così. Ma riesco ad intuire che sia vero, e mi basta per il momento.
Provo a tirare un po' le fila del discorso, anche se intuisco che ci sia da dire da adesso fino all'anno prossimo.
@V.G.: Provo a riassumere quello che mi hai spiegato:
Domanda (mia): "Perché dobbiamo integrare la derivata del logaritmo, per calcolare il numero di avvolgimento di $gamma$ in $0$?"
Risposta (tua): "Perché per ogni $alpha\inRR$, $log_alpha(z)=log\ |z|+i"arg"_alpha(z)$, ed è olomorfa su tutto $CC$ meno una semiretta nascente nell'origine.
Quindi integrandone la derivata lungo $gamma$, otteniamo una somma finita, avente tanti addendi quanto il numero di volte che $gamma$ passa per la semiretta.
Ogni addendo è la differenza tra il limite di $log_alpha$ nell'approcciare la semiretta da una parte e dall'altra. Quindi avrà una certa parte reale e per parte immaginaria $2pii$. Alla fine della fiera, le parti reali si annulleranno [cosa difficile da spiegare a parole ma evidente con un disegnino], mentre le parti immaginarie daranno proprio $2pii$*(numero di volte che siamo passati per la semiretta di discontinuità). Questo numero è contato con segno."
(Questo adesso lo sto ripetendo per me, non per farti il verso
). E questa è l'idea intuitiva del discorso.
Se invece volessimo una dimostrazione più rigorosa dovremmo passare per la strada indicata da Augosoma. Che è pure chiara, e in fondo dice in maniera più intrinseca quello che intuitivamente sta scritto più sopra (se ho capito bene).
_________________
[1] Uso queste notazioni, che spero essere universali: per ogni $z!=0$, $"Arg"(z)$ è l'argomento "multivoco", ovvero tutta la classe modulo $2pi$ di numeri reali che sono argomento di $z$. Analogamente, con $"Log"(z)$ indico tutta la classe dei $w\inCC$ tali che $"exp"(w)=z$. Risulta che $"Log"(z)=log|z|+i"Arg"(z)$.
Con $arg_alpha$ e $log_alpha$ indico le rispettive selezioni ottenute forzando l'argomento nell'intervallo $[alpha-pi, alpha+pi)$.
@V.G.: Provo a riassumere quello che mi hai spiegato:
Domanda (mia): "Perché dobbiamo integrare la derivata del logaritmo, per calcolare il numero di avvolgimento di $gamma$ in $0$?"
Risposta (tua): "Perché per ogni $alpha\inRR$, $log_alpha(z)=log\ |z|+i"arg"_alpha(z)$, ed è olomorfa su tutto $CC$ meno una semiretta nascente nell'origine.
Quindi integrandone la derivata lungo $gamma$, otteniamo una somma finita, avente tanti addendi quanto il numero di volte che $gamma$ passa per la semiretta.
Ogni addendo è la differenza tra il limite di $log_alpha$ nell'approcciare la semiretta da una parte e dall'altra. Quindi avrà una certa parte reale e per parte immaginaria $2pii$. Alla fine della fiera, le parti reali si annulleranno [cosa difficile da spiegare a parole ma evidente con un disegnino], mentre le parti immaginarie daranno proprio $2pii$*(numero di volte che siamo passati per la semiretta di discontinuità). Questo numero è contato con segno."
(Questo adesso lo sto ripetendo per me, non per farti il verso
). E questa è l'idea intuitiva del discorso. Se invece volessimo una dimostrazione più rigorosa dovremmo passare per la strada indicata da Augosoma. Che è pure chiara, e in fondo dice in maniera più intrinseca quello che intuitivamente sta scritto più sopra (se ho capito bene).
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[1] Uso queste notazioni, che spero essere universali: per ogni $z!=0$, $"Arg"(z)$ è l'argomento "multivoco", ovvero tutta la classe modulo $2pi$ di numeri reali che sono argomento di $z$. Analogamente, con $"Log"(z)$ indico tutta la classe dei $w\inCC$ tali che $"exp"(w)=z$. Risulta che $"Log"(z)=log|z|+i"Arg"(z)$.
Con $arg_alpha$ e $log_alpha$ indico le rispettive selezioni ottenute forzando l'argomento nell'intervallo $[alpha-pi, alpha+pi)$.
"dissonance":
Provo a tirare un po' le fila del discorso, anche se intuisco che ci sia da dire da adesso fino all'anno prossimo.
@V.G.: Provo a riassumere quello che mi hai spiegato:
Domanda (mia): "Perché dobbiamo integrare la derivata del logaritmo, per calcolare il numero di avvolgimento di $gamma$ in $0$?"
Riprendo il discorso, cosi' per parlare ... Quello che scrivi sopra non mi pare esattamente quell che volevo "spiegare". Cerco di chiarirmi -
secondo me non e' che io so a priori cosa e' il numero di avvolgimento e cerco un modo di calcolarlo.Al contrario io trovo una certa definizione e cerco di
spiegarmi da dove e' uscita. Piu' precisamente (dal mio punto di vista) io sono interessato
a $\int_\gamma 1/z dz$ e scopro che questo integrale fa $2\pi n i$ dove $n$ lo posso interpretare come "il numero di giri attorno a zero della curva ".
Come nasce questa interpretazione? Parto dalla considerazione che se $F$ e $f$ sono olomorfe in $\Omega$ e se $F'=f$ allora per ogni curva
$\gamma:[a,b]\to\Omega$ si ha $\int_\gamma f=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))$ - in particolare se $\gamma$ e' chiusa $\int_\gamma f=0$. Per esempio
$\int_\gamma z^k dz=0$ se $\gamma$ e' chiusa e $k\ne-1$ dato che, per $k\ne -1$ la potenza $x^k$ ha come primitiva $\frac{x^{k+1}}{k+1}$.
Invece per $k=-1$ la primitiva dovrebbe essere $\ln(z)$ che sfortunatamente ( o forse fortunatamente) non esiste su tutto $CC\setminus{0}$. Pero' la formula
$\int_gamma 1/z dz=\ln(\gamma(b))-\ln(gamma(a))$ "rimane vera" pur di pensare al logaritmo come funzione multivoca, immaginando una "determinazione lungo la curva".
Nota che la parte reale del logaritmo (cioe' il logaritmo del modulo) torna eguale dopo un giro - quello che non si incolla e' la parte immaginaria, data dall'argomento e quindi
la formula sopra diventa $\int_gamma 1/z dz=i(Arg(\gamma(b))-Arg(\gamma(a)))$.
Immagina di avere infinite copie di $CC$, tutte tagliate sulla semiretta dei reali negativi e incollate ognuna alla successiva in modo da formare una specie di vite infinita
(ci vorrebbe un disegno ... ) In questo oggetto $CC^\star$ l'argomento e quindi il logaritmo sono ben definite. Ora devo immergere la $\gamma$ in $CC^\star$ - se lo faccio mi accorgo che
"dopo un giro" non sono piu' nella stessa copia di $CC$. Quindi $\int_gamma 1/z dz=i(Arg(\gamma(b))-Arg(\gamma(a)))$ mi misura quante "falde" di $CC^\star$ ho percorso da $\gamma(a)$ a $\gamma(b)$.
Ti ripeto che tutti questi discorsi non sono "strettamente matematici", cercano solo si farti visualizzare l'idea. In questo senso non trovo che possa esistere una "dimostrazione rigorosa" - a meno che tu
non abbia un'altra definizione di indice di avvolgimento (e allora il confronto con l'integrale sopra puo' essere oggetto di dimostrazione) - ma non mi pare che questo fosse il caso.
Scusa se ti ho confuso le idee ...
"ViciousGoblin":
Riprendo il discorso, cosi' per parlare ...
Non chiedo di meglio!
"ViciousGoblin":
Immagina di avere infinite copie di $CC$, tutte tagliate sulla semiretta dei reali negativi e incollate ognuna alla successiva in modo da formare una specie di vite infinita
(ci vorrebbe un disegno ... )
Questa è una cosa che vorrei proprio capire. Il disegno a cui ti riferisci è una cosa di questo genere?
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Riema ... ce_log.jpg
Se fosse così, questo mi spiegherebbe il perché di un fenomeno su cui mi interrogavo ieri. Stavo cercando uno sviluppo in serie di Taylor di una determinazione $alpha$ del logaritmo, di centro un punto $z_0$ qualunque (chiaramente non 0, né un punto della semiretta di discontinuità!). Lo sviluppo si trova facilmente, ma la cosa strana è che se prendo $z_0$ vicino alla semiretta di discontinuità, la serie converge anche oltre questa semiretta.
In termini più precisi, se noi consideriamo un disco a cavallo della semiretta di discontinuità di $"log"_alpha$ (lontano da 0 però), in questo disco la funzione $"log"_alpha$ si può prolungare analiticamente. E allora mi chiedevo: questo prolungamento dovrà essere sempre il logaritmo, ma con un'altra determinazione? Penso proprio di sì, a questo punto, sempre se il disegno a forma di "vite di Archimede" che c'è su wikipedia è quello a cui fai riferimento anche tu.
"ViciousGoblin":
Ti ripeto che tutti questi discorsi non sono "strettamente matematici", cercano solo si farti visualizzare l'idea. In questo senso non trovo che possa esistere una "dimostrazione rigorosa" - a meno che tu
non abbia un'altra definizione di indice di avvolgimento (e allora il confronto con l'integrale sopra puo' essere oggetto di dimostrazione) - ma non mi pare che questo fosse il caso.
Non lo è infatti. Avevo pensato di costruirmi una definizione alternativa, più esplicita, di indice di avvolgimento passando dalla funzione argomento complesso (Non so se hai letto la discussione "parallela", basata sui suggerimenti di Augosoma, in cui abbiamo scritto $gamma(t)-z=rho(t)e^(itheta(t))$...Qualcosa del genere). Ma ho deciso di lasciare perdere, porta via troppo tempo e non credo serva a nulla. Per me adesso è molto più importante capire per bene come funziona il logaritmo complesso.
"ViciousGoblin":
Scusa se ti ho confuso le idee ...
Credo che non sia mai successo da quando sono iscritto a questo forum!
"dissonance":
Questa è una cosa che vorrei proprio capire. Il disegno a cui ti riferisci è una cosa di questo genere?
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Riema ... ce_log.jpg
Proprio lui
Se fosse così, questo mi spiegherebbe il perché di un fenomeno su cui mi interrogavo ieri. Stavo cercando uno sviluppo in serie di Taylor di una determinazione $alpha$ del logaritmo, di centro un punto $z_0$ qualunque (chiaramente non 0, né un punto della semiretta di discontinuità!). Lo sviluppo si trova facilmente, ma la cosa strana è che se prendo $z_0$ vicino alla semiretta di discontinuità, la serie converge anche oltre questa semiretta.
Non c'e' niente di stupefacente - la semiretta di discontinuita', come la chiami tu, e' puramente arbitraria. Su un qualunque insieme semplicemente connesso di $CC\setminus{0}$ esiste una primitiva di $1/z$
e cioe' una determinazione del logaritmo. Quindi tu puoi partire definendo $ln(z)$ su $CC\setminus]-\infty,0]$ come la primitiva di $1/z$ che in $z=1$ fa $0$ (cioe' $ln_0(z)=\int_1^zfrac{1}{\zeta}d\zeta$ intendendo che questo integrale lo fai su una qualunque curva in $CC\setminus]-\infty,0]$ che congiunge $1$ a $z$). Poi se i metti in $z=i$, dove $\ln_0(i)=\frac{i\pi}{2}$, puoi considerare la primitiva di $1/z$ in $CC\setminus]-\infty i,0]$ (togli gli $i y$ con $y\leq 0$) che in $i$ fa $\frac{i\pi}{2}$ e definisci $ln_1(z)= \frac{i\pi}{2}+\int_i^z\frac{1}{\zeta} d\zeta$. Il novo logaritmo coincide col vecchio su ogni insieme semplicemente connesso conenuto nell' intersezione di $CC\setminus]-\infty,0]$ con $CC\setminus]-\infty i,0]$, e quindi nel primo, secondo e quarto quadrante - ma NON nel terzo
in cui $ln_0(z)$ e $ln_1(z)$ differiscono (ovviamente di una costante dato che sono entrame primitive di $1/z$ ). A questo punto nulla mi impedisce di ripartire da $-1$ e continuare a girare ...
Vista in un altro modo: dato un qualunque $z_0\ne 0$ in $CC$ la funzione $1/z$ e' olomorfa in $B(z_0,|z_0|)$ quindi ammette primitiva olomorfa nel medesimo disco e questa primitiva (una determinazione del logaritmo) e' sviluppabile in serie di potenze con raggio di convergenza $|z_0|$ - vedi che la semiretta di discontinuita' "non c'incastra nulla" ?
Se parto da $z_0=1$ definisco il logaritmo su $B(1,1)$ e"guadagno" $z_1=\frac{i+1}{\sqrt{2}}$ - da $z_1$ riparto definendo il ("un") logatitmo su
$B(z_1,1)$ che si raccordi con la precedente nell'intersezione $B(1,1)\cap B(z_1,1)$. Allora guadagno il punto $z_2=i$ e cosi' via. Dopo un giro pero' mi ritrovo il punto $1$ ma il logaritmo che trovo non vale piu' zero, bensi' $2\pi i$ e posso continuare.
In termini più precisi, se noi consideriamo un disco a cavallo della semiretta di discontinuità di $"log"_alpha$ (lontano da 0 però), in questo disco la funzione $"log"_alpha$ si può prolungare analiticamente. E allora mi chiedevo: questo prolungamento dovrà essere sempre il logaritmo, ma con un'altra determinazione? Penso proprio di sì, a questo punto, sempre se il disegno a forma di "vite di Archimede" che c'è su wikipedia è quello a cui fai riferimento anche tu.
Mi pare proprio quello che dicevo sopra!
Non lo è infatti. Avevo pensato di costruirmi una definizione alternativa, più esplicita, di indice di avvolgimento passando dalla funzione argomento complesso (Non so se hai letto la discussione "parallela", basata sui suggerimenti di Augosoma, in cui abbiamo scritto $gamma(t)-z=rho(t)e^(itheta(t))$...Qualcosa del genere). Ma ho deciso di lasciare perdere, porta via troppo tempo e non credo serva a nulla. Per me adesso è molto più importante capire per bene come funziona il logaritmo complesso.
Fai bene - definire "con le mani" l'indice di avvolgimento o anche dire esattamente cos'e' l'argomento di $z$ e' tutt'altro che semplice dal punto di vista concettuale.
V.G., il discorso che tu fai è perfettamente chiaro e credo di averlo afferrato.
Io stavo partendo da questa osservazione: se fissiamo un $z_0!=0$, allora per ogni $alpha$ avremo che $log_alphaz=log_alphaz_0+int_(z_0)^z("d"zeta)/(zeta)$, dove l'integrale lo facciamo su una curva qualsiasi da $z_0$ a $z$, purché non intersechi la famosa semiretta "off limits".
La cosa mi ha mandato un po' in tilt: e se invece la curva fosse passata dalla semiretta? Che sarebbe successo? Ma soprattutto: che cosa hanno di speciale tutte queste semirette, da dove saltano fuori?
Ora che ho letto quest'altra maniera di definire il logaritmo, che non passa per l'inversione della funzione esponenziale, penso di aver capito qualcosa. Innanzitutto questi insiemi $CC-"una semiretta"$, su cui sono definite le determinazioni dei logaritmi, cosa sono? Non sono altro che i più grandi insiemi semplicemente connessi contenuti in $CC-{0}$. Ma io potrei pure prendere un insieme a forma di zampirone, che non tocca lo 0, e lì sopra avrei definita una determinazione di logaritmo.
Fermo restando che si tratta sempre di una "finestra" che io mi apro. Nel senso: il "vero" logaritmo è una funzione multivoca. Ecco perché, come dici tu:
Intuitivamente inizio ad immaginarmi la funzione multivoca logaritmo mediante il disegno a forma di vite senza fine che c'è su wikipedia. Questa storia di "tagliare via" una semiretta è una maniera come un'altra per ricavarne una selezione olomorfa: tutto qui.
In conclusione, devo ragionare un po' su queste funzioni multivoche. Non ti nascondo che le avevo considerate come un artificio formale per affibbiare a forza una inversa alla funzione esponenziale, che invertibile non è.
Io stavo partendo da questa osservazione: se fissiamo un $z_0!=0$, allora per ogni $alpha$ avremo che $log_alphaz=log_alphaz_0+int_(z_0)^z("d"zeta)/(zeta)$, dove l'integrale lo facciamo su una curva qualsiasi da $z_0$ a $z$, purché non intersechi la famosa semiretta "off limits".
La cosa mi ha mandato un po' in tilt: e se invece la curva fosse passata dalla semiretta? Che sarebbe successo? Ma soprattutto: che cosa hanno di speciale tutte queste semirette, da dove saltano fuori?
Ora che ho letto quest'altra maniera di definire il logaritmo, che non passa per l'inversione della funzione esponenziale, penso di aver capito qualcosa. Innanzitutto questi insiemi $CC-"una semiretta"$, su cui sono definite le determinazioni dei logaritmi, cosa sono? Non sono altro che i più grandi insiemi semplicemente connessi contenuti in $CC-{0}$. Ma io potrei pure prendere un insieme a forma di zampirone, che non tocca lo 0, e lì sopra avrei definita una determinazione di logaritmo.
Fermo restando che si tratta sempre di una "finestra" che io mi apro. Nel senso: il "vero" logaritmo è una funzione multivoca. Ecco perché, come dici tu:
"ViciousGoblin":
Dopo un giro pero' mi ritrovo il punto 1 ma il logaritmo che trovo non vale piu' zero, bensi' 2πi e posso continuare.
Intuitivamente inizio ad immaginarmi la funzione multivoca logaritmo mediante il disegno a forma di vite senza fine che c'è su wikipedia. Questa storia di "tagliare via" una semiretta è una maniera come un'altra per ricavarne una selezione olomorfa: tutto qui.
In conclusione, devo ragionare un po' su queste funzioni multivoche. Non ti nascondo che le avevo considerate come un artificio formale per affibbiare a forza una inversa alla funzione esponenziale, che invertibile non è.
"dissonance":
In conclusione, devo ragionare un po' su queste funzioni multivoche. Non ti nascondo che le avevo considerate come un artificio formale per affibbiare a forza una inversa alla funzione esponenziale, che invertibile non è.
In realtà la multivocità salta fuori anche da altre parti, non solo nella costruzione del logaritmo...
Ad esempio, come hai intuito ragionando sulle serie di Taylor, di solito quando si usa la tecnica del prolungamento analitico si ottengono applicazioni multivoche.
Il discorso, in linea di massima, è questo.
Immagina di avere una serie di potenze che converge in un cerchio limitato $D_0$: la somma $f$ della serie è una funzione di classe $C^oo$ in ogni punto di $D_0$, perciò si può scrivere la sua espansione in serie di Taylor in ogni punto di $z\in D_0$; è possibile che il r.d.c. dell'espansione di $f$ in $z$ sia $<+oo$ ma strettamente più grande della distanza di $z$ dalla frontiera di $D_0$: se si verifica questo caso, allora puoi prolungare $f$ fuori da $D_0$ nei punti di $D\setminus D_0$ ($D$ è il cerchio di convergenza dell'espansione in serie di Taylor in $z$) ponendola uguale alla somma della serie di Taylor di centro $z$. Questo prolungamento è continuo (per il principio d'identità delle funzioni analitiche le due espressioni di $f$ combaciano in $D_0\cap D$) ed è anzi di classe $C^oo$ in $D_0\cup D$.
Immagina di fare quanto ora descritto per tutti i punti di $D_0$ per i quali il r.d.c. della serie di Taylor di $f$ risulti $<+oo$ e maggiore della distanza del centro dalla frontiera di $D_0$: a questo stadio hai ottenuto un insieme $D_1$, contenente propriamente $D_0$, ed una funzione $f_1$ di classe $C^oo$ in $D_1$ che prolunga $f$: in particolare $f_1$ è un prolungamento diretto di $f$. (Questo procedimento è detto prolungamento analitico.)
Fin qui niente di strano.
Ora immagina che sia possibile iterare il procedimento e costruire un aperto $D_2$, contenente $D_1$, ed una funzione $f_2 in C^oo(D_2)$ che prolunghi $f_1$ (e quindi $f$) a $D_2$: la $f_2$ è un prolungamento indiretto di $f$ e... Adesso le cose però cambiano!
Infatti suponi che sia possibile determinare un punto $z$ in $D_2$ in modo che il disco di convergenza $D$ della serie di Taylor di $f_2$ centrata in $z$ abbia $D\cap D_0!=\emptyset$ e $D\cap D_0\cap D_1=\emptyset$: visto che $D\cap D_0\cap D_1=\emptyset$, non puoi applicare il principio d'identità delle funzioni analitiche per stabilire che $f$ ed $f_2$ coincidano nei punti di $D\cap D_0$. Pertanto devi ammettere che possa risultare $f_2(zeta)!=f(zeta)$ per $zeta \in D_2$, nonostante $f_2$ sia un prolungamento di $f$!
Ed ecco la multivocità anche in questo caso...
Per il logaritmo questa magagna vien fuori quando cerchi di "aggirare" col prolungamento analitico il punto singolare $0$; ma lo stesso accade, ad esempio, con le radici che in $0$ hanno un punto regolare.
Quei punti (regolari o singolari) che fanno questo genere di scherzi vengono detti punti di diramazione: secondo me il loro studio è molto divertente.
Ad esempio la funzione $f(z)=sqrt(z^3-3iz^2-z+3i)=sqrt((z^2-1)*(z-3i))$ ha tre punti di diramazione nei tre zeri del radicale, che sono $pm1,3i$ (infatti il radicando, calcolato in $pm 1,3i$, "va a finire" nel punto di diramazione della radice che è $0$).
Per ottenere una determinazione univoca della funzione devi "impedire" alla variabile $z$ di "girare" intorno a tali punti singolarmente oppure intorno a tutti e tre contemporaneamente, ma puoi far "girare" $z$ intorno a due qualsiasi di loro: per ottenere un aperto in cui $f$ sia univoca devi allora eliminare dal piano una curva $Gamma_1$ che congiunge solo due radici distinte ed un'altra curva $Gamma_2$ che congiunge la rimanente radice con l'infinito in modo che $Gamma_1\cap Gamma_2=\emptyset$.
Ad esempio puoi eliminare il segmento $Gamma_1$ che congiunge $pm 1$ e la semiretta $Gamma_2$ giacente sull'asse immaginario che ha origine in $3i$ e non interseca $Gamma_1$.
Però le scelte possono essere anche più strane: ad esempio puoi prendere $Gamma_1$ come sopra, epperò fissare $Gamma_2$ come un'apposita spirale (anche logaritmica; non c'è bisogno di eliminare $3i$, basta non poterci girare intorno!) che non intersechi $Gamma_1$.
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