Indice di avvolgimento
Ciao a tutti, stavo dimostrando il teorema sull'indice di avvolgimento, e mi son bloccato sul solito dubbio esistenziale di geometria (sono abbastanza carente in quell'ambito):
Mi trovo a dover dimostrare che l'indice di avvolgimento in campo complesso, ovvero la funzione:
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(\int_{\gamma}g(\zeta)d\zeta)(2\pi i)$ , con $g(\zeta)=\frac(1)(\zeta-z)$ , $\zeta\in\gamma$ (curva chiusa) , $z\in\Theta$, $\Theta=(\CC\\\gamma)$ assume valori costanti sulle componenti connesse di $\Theta$ (è uno sconnesso essendo il complementare di una curva chiusa).
Ho già dimostrato che $Ind_{\gamma}:\Theta\to\ZZ$ , e che è una funzione olomorfa su tutto $\Theta$ (datemi conferma di questo, l'ho dimostrato trasformando la funzione in una serie di potenze). Ora, potrei fare un bel discorsetto sul fatto che se è una funzione in $\ZZ$ non può che essere costante in qualsiasi intorno di un $z$ fissato, per continuità. Però non mi piace, e ho avuto un'altra idea un po' più elegante, e vorrei sapere se è ben fondata:
$Ind_{\gamma}$ olomorfa $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ continua (1)
$\CC$ spazio topologico $\rArr$ $\Theta$ spazio topologico, con la topologia indotta da $\CC$ (2)
$\ZZ$ spazio topologico (3)
(1)+(2)+(3) $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ topologicamente continua $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ trasforma connessi in connessi $\rArr$ $Ind_{\gamma}(C_{1})\toZ_{1}$ , con $C_{1}$ componente connessa di $\Theta$, $Z_{1}$ connesso di $\ZZ$.
$\ZZ$ è dotata della topologia discreta $\rArr$ i connessi di $\ZZ$ sono tutti e soli i sottoinsiemi di cardinalità 1 (ovvero gli elementi singoli) $\rArr$ $Ind_{\gamma}(A_{1})\to{k_{1}}$ , $k_{1}\in\ZZ$.
Regge?
Mi trovo a dover dimostrare che l'indice di avvolgimento in campo complesso, ovvero la funzione:
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(\int_{\gamma}g(\zeta)d\zeta)(2\pi i)$ , con $g(\zeta)=\frac(1)(\zeta-z)$ , $\zeta\in\gamma$ (curva chiusa) , $z\in\Theta$, $\Theta=(\CC\\\gamma)$ assume valori costanti sulle componenti connesse di $\Theta$ (è uno sconnesso essendo il complementare di una curva chiusa).
Ho già dimostrato che $Ind_{\gamma}:\Theta\to\ZZ$ , e che è una funzione olomorfa su tutto $\Theta$ (datemi conferma di questo, l'ho dimostrato trasformando la funzione in una serie di potenze). Ora, potrei fare un bel discorsetto sul fatto che se è una funzione in $\ZZ$ non può che essere costante in qualsiasi intorno di un $z$ fissato, per continuità. Però non mi piace, e ho avuto un'altra idea un po' più elegante, e vorrei sapere se è ben fondata:
$Ind_{\gamma}$ olomorfa $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ continua (1)
$\CC$ spazio topologico $\rArr$ $\Theta$ spazio topologico, con la topologia indotta da $\CC$ (2)
$\ZZ$ spazio topologico (3)
(1)+(2)+(3) $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ topologicamente continua $\rArr$ $Ind_{\gamma}$ trasforma connessi in connessi $\rArr$ $Ind_{\gamma}(C_{1})\toZ_{1}$ , con $C_{1}$ componente connessa di $\Theta$, $Z_{1}$ connesso di $\ZZ$.
$\ZZ$ è dotata della topologia discreta $\rArr$ i connessi di $\ZZ$ sono tutti e soli i sottoinsiemi di cardinalità 1 (ovvero gli elementi singoli) $\rArr$ $Ind_{\gamma}(A_{1})\to{k_{1}}$ , $k_{1}\in\ZZ$.
Regge?
Risposte
Quello che hai fatto è esattamente il "discorsetto" cui accenni qui:
Ora, potrei fare un bel discorsetto sul fatto che se è una funzione in Z non può che essere costante in qualsiasi intorno di un z fissato, per continuità.Va bene. Come hai dimostrato che \(\mathrm{Ind}_{\gamma}\) è olomorfa? (Giusto per vedere se hai fatto bene).
Fisso $a\in\Theta$ e $R\in\RR^{+}$ $/$ $D(a,R)\nn\gamma=\emptyset$
Se fisso un qualsiasi $z\in\D(a,R)$ ho che $|\frac(z-a)(\zeta-a)|<1$, quindi (semplifico il più possibile, nel caso chiedimi i passaggi intermedi che non ti convincono) $g(\zeta)=\frac(1)(\zeta-z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})$.
Questa è una serie convergente sia che la consideri rispetto a $\zeta\in\gamma$, sia rispetto a $z\in\Theta$, per il semplice motivo che il denominatore di $g$ non si annulla mai, quindi è continua.
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(1)(2\pi i)\int_{\gamma}\sum_{n=0}^{\infty}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta$.
Per la convergenza uniforme della serie su un qualsiasi compatto contenuto in $\Theta$ (quindi considero la serie di funzioni rispetto alla variabile z), faccio valere $\int\sum=\sum\int$, quindi ho:
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(1)(2\pi i)\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\gamma}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta$.
A questo punto riscrivo il tutto:
$Ind_{\gamma}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac(1)(2\pi i)\int_{\gamma}\frac(1)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta(z-a)^n$.
Quindi $Ind_{\gamma}(z)$ è scrivibile in serie di potenze, so che questa serie di potenze è convergente su tutto $\Theta$ per la buona definizione di $g$, e quindi è olomorfa per il teorema che mi dice che una qualsiasi serie di potenze è olomorfa su tutto il suo dominio di convergenza.
Se fisso un qualsiasi $z\in\D(a,R)$ ho che $|\frac(z-a)(\zeta-a)|<1$, quindi (semplifico il più possibile, nel caso chiedimi i passaggi intermedi che non ti convincono) $g(\zeta)=\frac(1)(\zeta-z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})$.
Questa è una serie convergente sia che la consideri rispetto a $\zeta\in\gamma$, sia rispetto a $z\in\Theta$, per il semplice motivo che il denominatore di $g$ non si annulla mai, quindi è continua.
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(1)(2\pi i)\int_{\gamma}\sum_{n=0}^{\infty}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta$.
Per la convergenza uniforme della serie su un qualsiasi compatto contenuto in $\Theta$ (quindi considero la serie di funzioni rispetto alla variabile z), faccio valere $\int\sum=\sum\int$, quindi ho:
$Ind_{\gamma}(z)=\frac(1)(2\pi i)\sum_{n=0}^{\infty}\int_{\gamma}\frac((z-a)^n)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta$.
A questo punto riscrivo il tutto:
$Ind_{\gamma}(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac(1)(2\pi i)\int_{\gamma}\frac(1)((\zeta-a)^{n+1})d\zeta(z-a)^n$.
Quindi $Ind_{\gamma}(z)$ è scrivibile in serie di potenze, so che questa serie di potenze è convergente su tutto $\Theta$ per la buona definizione di $g$, e quindi è olomorfa per il teorema che mi dice che una qualsiasi serie di potenze è olomorfa su tutto il suo dominio di convergenza.
Si, solo un dettaglio:
Il resto va bene. In effetti quella dell'indice di avvolgimento è la formula integrale di Cauchy applicata alla costante \(1\), e questa dimostrazione usa la stessa tecnica che si usa in quel contesto lì.
Questa è una serie convergente sia che la consideri rispetto a ζ∈γ, sia rispetto a z∈Θ, per il semplice motivo che il denominatore di g non si annulla mai, quindi è continua.Questa cosa è detta male. Tu vuoi dire che questa serie è convergente uniformemente sia rispetto ad una variabile sia rispetto all'altra. Infatti ti servirà la convergenza uniforme rispetto a \(\zeta\) per il passaggio successivo.
Il resto va bene. In effetti quella dell'indice di avvolgimento è la formula integrale di Cauchy applicata alla costante \(1\), e questa dimostrazione usa la stessa tecnica che si usa in quel contesto lì.
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