Indeterminata o diverge??
ciao ragazzi, allora oggi stavo cercando di determinare il carattere di questa serie
$\sum_{0}^infty \frac{n}{n^2+1}$
Ho iniziato tramite metodo del rapporto
$\sum_{0}^infty \frac{n}{n^2+1}= \frac{n+1}{(n+1)^2+1}\frac{n^2+1}{n}=\frac{n^3+n^2+n+1}{m^3+2n^2+2n}$ e calcolando il limite $\lim_(x to infty) n^3/n^3=1$
ottengo che non è possibile determinare il carattere della serie...
Guardando invece lo svolgimento tramite confronto risulta che $\frac{n}{n^2+1}$ è simile alla serie armonica $\frac{1}{n}$ quindi dovrebbe divergere giusto?
In questo caso ho sbagliato qualcosa o può succedere che si trovino serie il cui carattere non è possibile determinarlo con un metodo invece che con un'altro?
$\sum_{0}^infty \frac{n}{n^2+1}$
Ho iniziato tramite metodo del rapporto
$\sum_{0}^infty \frac{n}{n^2+1}= \frac{n+1}{(n+1)^2+1}\frac{n^2+1}{n}=\frac{n^3+n^2+n+1}{m^3+2n^2+2n}$ e calcolando il limite $\lim_(x to infty) n^3/n^3=1$
ottengo che non è possibile determinare il carattere della serie...
Guardando invece lo svolgimento tramite confronto risulta che $\frac{n}{n^2+1}$ è simile alla serie armonica $\frac{1}{n}$ quindi dovrebbe divergere giusto?
In questo caso ho sbagliato qualcosa o può succedere che si trovino serie il cui carattere non è possibile determinarlo con un metodo invece che con un'altro?
Risposte
"ansioso":
In questo caso ho sbagliato qualcosa o può succedere che si trovino serie il cui carattere non è possibile determinarlo con un metodo invece che con un'altro?
Certo che può succedere. Infatti non è possibile determinare il carattere della serie in questione con il criterio del rapporto.
Si può dimostrare - se non sbaglio - che se vale il test del rapporto allora vale anche quello della radice; non è vero il viceversa. Tanto per fare un esempio...
ah...
quindi qualsiasi esercizio fatto con qualsiasi criterio, se mi porta a una situazione di indeterminazione affermare che non è possibile determinare il carattere della serie è sbagliato?
Bisogna sempre analizzare con tutti i metodi possibili?
quindi qualsiasi esercizio fatto con qualsiasi criterio, se mi porta a una situazione di indeterminazione affermare che non è possibile determinare il carattere della serie è sbagliato?
Bisogna sempre analizzare con tutti i metodi possibili?
Beh, nel dimostrare il criterio del rapporto si vede bene che nel caso in cui il limite è $1$ non si può concludere niente (che è ben diverso dal dire "è indeterminata").
è vero... grazie(anzhe per ieri 
)
)
Figurati; ma vai a correggere le cosacce che hai scritto nel topic del limite con i fattoriali.
ci ho provato... XD
Un'osservazione: il fenomeno secondo cui il criterio del rapporto non fornisce informazioni è tipico delle serie
$sum frac{1}{n^alpha}$
e quelle ad essa asintoticamente equivalenti, come nel caso in questione. Se infatti analizziamo la dimostrazione del criterio del rapporto, vediamo che esso sostanzialmente ci procura un confronto con la serie geometrica. Come sappiamo una serie geometrica convergente
$sum q^n$
ha ragione $|q|<1$ e quindi il proprio termine generale $q^n$ decade esponenzialmente. Così il criterio del rapporto funziona quando il termine generale della serie assegnata decade almeno esponenzialmente, e non riesce a stabilire se siano convergenti o meno le serie con termine generale che decade polinomialmente. Per inciso osserviamo che il criterio della radice ha esattamente le stesse limitazioni, è solo appena appena più fine.
$sum frac{1}{n^alpha}$
e quelle ad essa asintoticamente equivalenti, come nel caso in questione. Se infatti analizziamo la dimostrazione del criterio del rapporto, vediamo che esso sostanzialmente ci procura un confronto con la serie geometrica. Come sappiamo una serie geometrica convergente
$sum q^n$
ha ragione $|q|<1$ e quindi il proprio termine generale $q^n$ decade esponenzialmente. Così il criterio del rapporto funziona quando il termine generale della serie assegnata decade almeno esponenzialmente, e non riesce a stabilire se siano convergenti o meno le serie con termine generale che decade polinomialmente. Per inciso osserviamo che il criterio della radice ha esattamente le stesse limitazioni, è solo appena appena più fine.
ciao, la tua serie e fortemente equivalente (per confronto asintotico) con $ sum 1/n $ e quindi diverge.
In questo caso dovrebbe farsi facilmente anche con il criterio dell'integrale (che io mi sono sempre rifiutato di adoperare).
io non lo conosco... e vivo bene lo stesso 
speriamo che queste non siano le ultime parole famose
speriamo che queste non siano le ultime parole famose
Ovviamente la serie diverge.
Infatti possiamo certamente trovare una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che:
[tex]$\frac{C}{n}\leq \frac{n}{n^2+1}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex];
ciò importa che la serie assegnata è minorata da una serie di tipo armonico e, perciò, diverge.
La determinazione di [tex]$C$[/tex] si fa come segue: prendendo il denominatore comune e liberando dai denominatori, la disuguaglianza si riduce a [tex]$C(n^2+1)\leq n^2$[/tex], ossia [tex]$(C-1)n^2\leq C$[/tex]; se [tex]$0
[tex]$n^2\geq \frac{C}{C-1}$[/tex]
ed al secondo membro è presente un numero negativo, perciò la disuguaglianza è verificata per ogni [tex]$n$[/tex] comunque si voglia scegliere [tex]$C\in ]0,1[$[/tex].
In particolare, possiamo prendere [tex]$C=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Infatti possiamo certamente trovare una costante [tex]$C>0$[/tex] tale che:
[tex]$\frac{C}{n}\leq \frac{n}{n^2+1}$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex];
ciò importa che la serie assegnata è minorata da una serie di tipo armonico e, perciò, diverge.
La determinazione di [tex]$C$[/tex] si fa come segue: prendendo il denominatore comune e liberando dai denominatori, la disuguaglianza si riduce a [tex]$C(n^2+1)\leq n^2$[/tex], ossia [tex]$(C-1)n^2\leq C$[/tex]; se [tex]$0
[tex]$n^2\geq \frac{C}{C-1}$[/tex]
ed al secondo membro è presente un numero negativo, perciò la disuguaglianza è verificata per ogni [tex]$n$[/tex] comunque si voglia scegliere [tex]$C\in ]0,1[$[/tex].
In particolare, possiamo prendere [tex]$C=\tfrac{1}{2}$[/tex].
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