Indebolire Rolle

[Sk_Anonymous]

Sia \(\displaystyle f : [a, +\infty [ \to \mathbb{R}\) una funzione continua e derivabile su tutto l'intervallo di definizione. Viene chiesto di provare che, se \(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)=f(a) \), allora \(\displaystyle \exists \ \xi > a \) t.c. \(\displaystyle f'(\xi)=0 \).

Chiaramente, la prima cosa che mi è venuta in mente è stata di utilizzare globalmente il teorema di Rolle in qualche modo, ma poi ho preceduto come segue:

Caso 1: la funzione è costante, quindi la derivata è costantemente nulla.
Caso 2: la funzione sta definitivamente al di sopra (oppure al di sotto) dell'asintoto orizzontale. In sostanza per definizione di limite \(\displaystyle f(x)>f(a) \) oppure \(\displaystyle f(x) 0 \), questo implica che la funzione è decrescente (oppure crescente) su \(\displaystyle [\bar{x} + \delta, +\infty[ \); ne segue necessariamente per la continuità che su \(\displaystyle [a, \ \bar{x} + \delta[ \) la funzione deve essere crescente, oppure deve alternare intervalli di crescenza ad intervalli di decrescenza, per "raggiungere" \(\displaystyle f(\bar{x} + \delta) \) che sta al di sopra (o al di sotto) \(\displaystyle f(a) \). Quindi dev'esserci per forza almeno un massimo (od un minimo).
Caso 3: la funzione continua ad oscillare intorno all'asintoto. Mi pare che non ci sia nulla da dimostrare, giacché per "definizione" di funzione oscillante si hanno degli intervalli di crescenza e intervalli di decrescenza.

Si tratta di una dimostrazione troppo fatua?

[Seneca1]

"Delirium":... ne segue necessariamente per la continuità che su \(\displaystyle [a, \ \bar{x} + \delta[ \) la funzione deve essere crescente, oppure deve alternare intervalli di crescenza ad intervalli di decrescenza, per "raggiungere" \(\displaystyle f(\bar{x} + \delta) \) che sta al di sopra (o al di sotto) \(\displaystyle f(a) \). Quindi dev'esserci per forza almeno un massimo (od un minimo).

Potresti spiegarmi questo passaggio? Formalizzarlo, insomma..

[Seneca1]

Io ho pensato la seguente dimostrazione...

Se la funzione $f$ non fosse iniettiva, la tua tesi sarebbe immediata (esistono due punti $x_1 , x_2 \in [a, +oo)$ tali che $f(x_1) = f(x_2)$).
Suppongo quindi per assurdo che la funzione $f$ sia iniettiva. $f$ necessariamente deve essere strettamente monotona. Preso $xi \in (a , +oo)$, supposto che sia, p.es., $f(xi) > f(a)$ si avrebbe che $f(x) > f(xi) > f(a)$, $\forall x in (xi, +oo)$, il che contraddice l'ipotesi $lim_(x -> +oo) f(x) = f(a)$, perché definitivamente i valori della funzione distano da $f(a)$ più di $|f(xi) - f(a)| = k$ che è una costante. Assurdo.

[gugo82]

Altra soluzione.

Consideriamo la funzione \(g:[a,a+1[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
g(t):= f \left( \frac{t}{(a+1)-t}\right)\; .
\]
Evidentemente si ha:
\[
\lim_{t\to (a+1)^-} g(t) = \lim_{x\to \infty} f(x) =f(a)\; ,
\]
dunque \(g\) si può prolungare con continuità su tutto \([a,a+1]\) ponendo \(g(a+1):=f(a)\); denotato ancora con \(g\) tale prolungamento, notiamo che \(g(a)=g(a+1)\) e che \(g\) è derivabile in \(]a,a+1[\) in quanto, a norma del teorema di derivazione delle funzioni composte, risulta:
\[
g^\prime (t) = f^\prime \left( \frac{t}{(a+1)-t}\right)\ \frac{a+1}{[(a+1)-t]^2}\; .
\]
La funzione ausiliaria \(g\) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, perciò esiste un numero \(\tau \in ]a,a+1[\) tale che \(g^\prime (\tau)=0\).

Ciò importa che:
\[
f^\prime \left( \frac{\tau}{(a+1)-\tau}\right) =0
\]
con il punto \(\xi := \frac{\tau}{(a+1)-\tau} \in ]a,\infty[\), che è la tesi.

[Rigel1]

Ulteriore dimostrazione.

Si può rifare praticamente la stessa dimostrazione del teorema di Rolle originale.
Eliminato il caso di \(f\) costante, basta infatti dimostrare che, nelle ipotesi date, la funzione ammette sempre o massimo o minimo assoluto in \((a, +\infty)\).

[Sk_Anonymous]

Grazie a tutti per le risposte.

@Seneca: in effetti sì, devo chiarire bene quel passaggio. Bhé, potrei dire: se non è crescente su tutto \(\displaystyle [a, \bar{x} + \delta[ \), allora sicuramente in quell'intervallo c'è un massimo o un minimo. In caso contrario può essere o decrescente su tutto \(\displaystyle I=[a, \bar{x} + \delta[ \), ma questo è assurdo perché \(\displaystyle a<\bar{x}+ \delta \) e risulterebbe \(\displaystyle f(a) < f(\bar{x} + \delta) \) per costruzione. Se fosse costante su tutto \(\displaystyle I \), allora non sarebbe continua in \(\displaystyle \bar{x} + \delta \), contro le ipotesi. Ne segue che, dopo aver escluso tutte le alternative (è sbagliato procedere così?) deve essere per forza crescente.

In generale comunque l'idea è corretta, no? Perché stamane ho provato a chiedere al professore, e lui mi ha risposto piuttosto malamente. Forse gli sto antipatico.