Increscioso problema: serie di funzioni

[Olmec_Greenwall]

Ho una serie di funzioni, per cui:

\(\displaystyle f_{n}(x) = \frac{n(1 + x)^2 - 2x^2}{nx(1 + x)^2} \)

Devo verificare per quali valori diversi da zero e meno uno la seguente serie converge

\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty}f_n(x) \)

Io ho pensato, dato che il limite puntuale è 1/x, ed esso non potrà mai arrivare a 0, la serie non converge mai. Solo che la prof ha detto che il limite è giusto, ma la mia risposta no. Perché?

[Olmec_Greenwall]

Mi basterebbe sapere se ho ragione io o no, magari un indizio verso la soluzione corretta, sono disperato, è da ieri che sto sbattendo la testa al muro...

[Olmec_Greenwall]

Scusate, non so se è contro le regole uppare, ma mi serve davvero aiuto, non risponde nessuno e la risposta mi servirebbe davvero

[Sk_Anonymous]

In effetti non capisco cosa non vada nella tua risoluzione. Si ha che \[\lim_{n \to \infty} \frac{n(1+x)^2 - 2x^2}{nx(1+x)^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{n \left[(1+x)^2 - \frac{2x^2}{n} \right]}{n x(1+x)^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{ \left[(1+x)^2 - \frac{2x^2}{n} \right]}{ x(1+x)^2}=\frac{1}{x} \ne 0 \quad \forall \ x\in \mathbb{R} \setminus \{0\} \]
Quindi non è verificata la condizione necessaria di convergenza...