Incongruenza su o piccolo
salve, come mai se questo limite
$lim_(x->0)(log(x+1)+log(1-x))/x^2$
lo svolgo così
$lim_(x->0) log(1-x^2)/x^2 ~~ lim_(x->0)(-x^2+o(x^2))/x^2=-1 $
non ci sono problemi
mentre se lo spezzo
$lim_(x->0)log(x+1)/x^2+log(1-x)/x^2~~lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0) 1/x-1/x=0$
mi esce 0?
forse
$lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0) (x+o(x))/x^2 -lim_(x->0) (x+o(x))/x^2= +oo -oo$
ma mi sembra una forzatura per fare uscire una forma indeterminata e vedere la prima strada come l'unica!
$lim_(x->0)(log(x+1)+log(1-x))/x^2$
lo svolgo così
$lim_(x->0) log(1-x^2)/x^2 ~~ lim_(x->0)(-x^2+o(x^2))/x^2=-1 $
non ci sono problemi
mentre se lo spezzo
$lim_(x->0)log(x+1)/x^2+log(1-x)/x^2~~lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0) 1/x-1/x=0$
mi esce 0?
forse
$lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0) (x+o(x))/x^2 -lim_(x->0) (x+o(x))/x^2= +oo -oo$
ma mi sembra una forzatura per fare uscire una forma indeterminata e vedere la prima strada come l'unica!
Risposte
Il secondo procedimento porta a cancellazione di infinitesimi: infatti quando va a sostituire ottieni a numeratore
$$x+o(x)-[x+o(x)]=o(x)$$
per cui dovresti controllare cosa c'è, effettivamente, in quel $o(x)$ (che, da quello che scrivi sopra, equivale a $-x^2+o(x^2)$).
$$x+o(x)-[x+o(x)]=o(x)$$
per cui dovresti controllare cosa c'è, effettivamente, in quel $o(x)$ (che, da quello che scrivi sopra, equivale a $-x^2+o(x^2)$).
così facendo non lo spezzi ma trasformi il limite in una forma indeterminata $0/0$. Il mio cruccio è capire qual è l'errore(sicuramente di algebra dell'o piccolo) nel passaggio
$lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2 ~~ lim_(x->0) 1/x - 1/x$
che me le rende nullo.
p.s. grazie per la risposta
$lim_(x->0) (x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2 ~~ lim_(x->0) 1/x - 1/x$
che me le rende nullo.
p.s. grazie per la risposta
Forse non mi sono spiegato bene: quello che fai tu è equivalente a quello che ho scritto io, solo che non lo vedi "ad occhio". Il problema è che ridursi a considerare solo i termini di primo grado, in ciò che fai, ha lo stesso sapore di pensare che la funzione originale, che ovviamente non è identicamente nulla, coincide invece con la funzione $1/x - 1/x=0$. Ti pare possibile?
perdonami ma qui si parla di forma non di occhio, se potessi postare i passaggi faresti cosa gradita. grazie!
Sono già scritti, sia da me che da te, cos'altro ti devo scrivere?
cosa scrivere (il passaggio completo), usando il formalismo dell'o piccolo, seguendo la seconda strada...
(repetita iuvant)
$lim_(x->0) (x+0(x))/x^2 - (x+0(x))/x^2 ~~ ???$
spero di essere stato nuovamente chiaro.
(repetita iuvant)
$lim_(x->0) (x+0(x))/x^2 - (x+0(x))/x^2 ~~ ???$
spero di essere stato nuovamente chiaro.
Nient'altro se non quello che hai già scritto. E quello che viene fuori è che avresti $1/x- 1/x=0$ che è assurdo. Mi sa che non ti è chiaro che t'ho già risposto, in modo formale, tre volte! 
e come si giustifica o, meglio, affronta questo assurdo?
Esattamente come hai fatto col primo metodo. Oppure puoi usare uno sviluppo ad ordini più alti: infatti dallo sviluppo di taylor si ha che
$$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$$
per cui
$$\ln(1+x)+\ln(1-x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=-x^2+o(x^2)$$
$$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)$$
per cui
$$\ln(1+x)+\ln(1-x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)=-x^2+o(x^2)$$
quello che scrivi andrebbe bene(e va benissimo) se ti avessi chiesto come risolverlo, come terza alternativa(sviluppo di taylor). La mia domanda è sulla forma, usando stima e o piccolo
$lim_(x->0)(x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0)1/x-1/x=0!=1$
perché ottengo 0 e non 1?
del resto il titolo è sull'incongruenza che io ho trovato nell'uso di questo formalismo. Spero, quindi, che qualcuno trasformi quella che io chiamo incongruenza in un errore algebrico degli o piccoli o di forma e non in una interpretazione della funzione iniziale, che porterebbe ad un'ulteriore strada. Grazie, lo stesso, per il tempo che mi dedichi.
$lim_(x->0)(x+o(x))/x^2-(x+o(x))/x^2~~lim_(x->0)1/x-1/x=0!=1$
perché ottengo 0 e non 1?
del resto il titolo è sull'incongruenza che io ho trovato nell'uso di questo formalismo. Spero, quindi, che qualcuno trasformi quella che io chiamo incongruenza in un errore algebrico degli o piccoli o di forma e non in una interpretazione della funzione iniziale, che porterebbe ad un'ulteriore strada. Grazie, lo stesso, per il tempo che mi dedichi.
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