Incomprensione su serie di potenze
Buonasera,
ho ancora bisogno di un vostro aiuto per risolvere un dubbio relativo ad un esercizio di cui ho la risoluzione ma non ne capisco bene un passaggio.
Nello specifico mi trovo ad affrontare questo integrale:
$\int 1/x (e^x) dx = \int 1/x \sum_{n=0}^infty x^n/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty (x^(n-1))/(n!) dx $
A questo punto nell'eserciziario viene scritto che questo procedimento non è possbile poichè :
- per n = 0 si ha il denominatore uguale a zero.
Pertanto l'invito è a procedere nel seguente modo:
$\int 1/x (e^x) dx = \int 1/x \sum_{n=0}^infty x^n/(n!) dx = \int ((1/x) + sum_{n=1}^infty (x^(n-1))/(n!)) dx = log |x| + sum_{n=1}^infty (x^n)/(n*n!) + c$
Quello che non riesco a capire è proprio il punto in cui si dice per n = 0 si ha il denominatore uguale a zero e vale per questo
$\int sum_{n=0}^infty (x^(n-1))/(n!) dx $
Ma allora il discorso non dovrebbe valere anche per questo $ \int ((1/x) + sum_{n=1}^infty (x^(n-1))/(n!)) dx $ dove abbiamo sempre 1/x?
Grazie a tutti come sempre!!!!
ho ancora bisogno di un vostro aiuto per risolvere un dubbio relativo ad un esercizio di cui ho la risoluzione ma non ne capisco bene un passaggio.
Nello specifico mi trovo ad affrontare questo integrale:
$\int 1/x (e^x) dx = \int 1/x \sum_{n=0}^infty x^n/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty (x^(n-1))/(n!) dx $
A questo punto nell'eserciziario viene scritto che questo procedimento non è possbile poichè :
- per n = 0 si ha il denominatore uguale a zero.
Pertanto l'invito è a procedere nel seguente modo:
$\int 1/x (e^x) dx = \int 1/x \sum_{n=0}^infty x^n/(n!) dx = \int ((1/x) + sum_{n=1}^infty (x^(n-1))/(n!)) dx = log |x| + sum_{n=1}^infty (x^n)/(n*n!) + c$
Quello che non riesco a capire è proprio il punto in cui si dice per n = 0 si ha il denominatore uguale a zero e vale per questo
$\int sum_{n=0}^infty (x^(n-1))/(n!) dx $
Ma allora il discorso non dovrebbe valere anche per questo $ \int ((1/x) + sum_{n=1}^infty (x^(n-1))/(n!)) dx $ dove abbiamo sempre 1/x?
Grazie a tutti come sempre!!!!
Risposte
infatti secondo me non è questione di denominatore (tra l'altro, $0! =1$). Il problema è che la formula
\[
\int x^m\, dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}+C
\]
vale per \(m\ge 0\) e fallisce per \(m=-1\), che quindi va trattato come caso a parte.
\[
\int x^m\, dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}+C
\]
vale per \(m\ge 0\) e fallisce per \(m=-1\), che quindi va trattato come caso a parte.
Perfetto, penso di aver capito a cosa si riferisse il fatto che per n = 0 si azzera il denominatore.
Diciamo che basandomi sulla formula di integrazione che mi hai riportato la cosa mi si è chiarita. Nell'eserciziario non era chiaro per niente.
Ho solo un dubbio, ma la formula non vale in realtà per tutti i valori al di fuori di $-1$???
A questo punto per vedere se ho capito bene provo ad affermare una cosa ed allo stesso tempo a fare una domanda.
Nello specifico caso se anzichè aver avuto $1/x$ avessi avuto $x$ il problema non ci sarebbe stato. Giusto? Perchè avrei avuto:
$ \int x (e^x) dx = \int x \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty x^(n+1)/(n!) dx $
Ma se viceversa avessi avuto
$ \int 1/x^2 (e^x) dx = \int x^-2 \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty x^(n-2)/(n!) dx $
Comportandomi in questo modo come faccio ad escludere la casistica in cui la formula sopracitata fallisce, ovvero nel caso $n = 1$?
Devo per caso trattare $1/x^2$ separatamente come nel caso di $1/x$???
E così per $1/x^3$, e via dicendo?
Diciamo che basandomi sulla formula di integrazione che mi hai riportato la cosa mi si è chiarita. Nell'eserciziario non era chiaro per niente.
Ho solo un dubbio, ma la formula non vale in realtà per tutti i valori al di fuori di $-1$???
A questo punto per vedere se ho capito bene provo ad affermare una cosa ed allo stesso tempo a fare una domanda.
Nello specifico caso se anzichè aver avuto $1/x$ avessi avuto $x$ il problema non ci sarebbe stato. Giusto? Perchè avrei avuto:
$ \int x (e^x) dx = \int x \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty x^(n+1)/(n!) dx $
Ma se viceversa avessi avuto
$ \int 1/x^2 (e^x) dx = \int x^-2 \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = \int sum_{n=0}^infty x^(n-2)/(n!) dx $
Comportandomi in questo modo come faccio ad escludere la casistica in cui la formula sopracitata fallisce, ovvero nel caso $n = 1$?
Devo per caso trattare $1/x^2$ separatamente come nel caso di $1/x$???
E così per $1/x^3$, e via dicendo?
"Alex_SSRI":
Ho solo un dubbio, ma la formula non vale in realtà per tutti i valori al di fuori di $-1$???
Si, è vero. Attenzione però al fatto che per esponenti negativi la funzione integranda $x^m$ ha una singolarità nell'origine, e quindi dovresti scrivere (per $m\le -2$)
\[
\int x^{m}\, dx = \begin{cases} \frac{x^{m+1}}{m+1} + C_+, & x>0 \\ \frac{x^{m+1}}{m+1} + C_-, & x<0 \end{cases}\]
dove le due costanti additive potrebbero essere diverse.
[quote=Alex_SSRI]
Questa ultima cosa mi ha un pò confuso le idee.....diciamo che siamo entrati troppo in profondità per le mie conoscenze
Detto questo ritornando al caso precedente, ipotizziamo l'ipotesi $1/x^2$ è corretta la seguente risoluzione? Perchè se è corretta allora dovrei aver compreso tutto il discorso
$ \int 1/x^2 (e^x) dx = \int x^-2 \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = x^-1 / -1 sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) + c = -1/x sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) + c $
Questa ultima cosa mi ha un pò confuso le idee.....diciamo che siamo entrati troppo in profondità per le mie conoscenze
Detto questo ritornando al caso precedente, ipotizziamo l'ipotesi $1/x^2$ è corretta la seguente risoluzione? Perchè se è corretta allora dovrei aver compreso tutto il discorso
$ \int 1/x^2 (e^x) dx = \int x^-2 \sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) dx = x^-1 / -1 sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) + c = -1/x sum_{n=0}^infty x^(n)/(n!) + c $
Si, a parte la storia delle due costanti che tu avevi anche nella prima funzione. La funzione che stai integrando, \(f(x)=\frac{1}{x}e^x\), è definita su \((-\infty, 0)\cup (0, \infty)\): due intervalli disgiunti. Ogni sua primitiva deve essere definita pure lei sugli stessi intervalli. Data una primitiva, se le vuoi ottenere tutte devi aggiungere una costante additiva per ogni intervallo. Vedi qui:
viewtopic.php?p=8212029#p8212029
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