Incomprensione serie di Fourier

[claudio_p88]

ho la seguente funzione definita in \(\displaystyle [-\pi,pi[ \) che vale \(\displaystyle f(x) =-1 \) per \(\displaystyle |x|<2 \), \(\displaystyle 0 \) altrove, ho delle difficoltà a capire come il libro calcoli i coefficienti, infatti procedendo con il calcolo, per definizione ho che \(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \), in questo caso allora dovrei avere \(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}(\int_{-\pi}^{2}f(x)dx+\int_{2}^{\pi}f(x)dx) \), il secondo integrale è nullo, quindi \(\displaystyle a_0 = \frac{-2}{\pi}-1 \), o per lo meno questo è il risultato che viene a me, credo che l'errore sia dovuto al fatto che il libro prende in esame l'intervallo \(\displaystyle [0,2] \), anche se non capisco il perchè prenda tale intervallo e non quello scelto da me, quindi calcola \(\displaystyle a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2}f(x)dx\), in questo caso il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle a_0 =\frac{-2}{\pi} \), sempre secondo i miei calcoli, infatti qui sorge la seconda incomprensione in quanto il risultato del libro è comunque diverso dal mio, infatti è \(\displaystyle a_0 =\frac{-4}{\pi} \), stesso problema quando calcolo \(\displaystyle a_k \), logicamente \(\displaystyle b_k \) non deve essere calcolato poichè la funzione è pari. Ringrazio anticipatamente chi riesce a risolvermi questi dubbi.

[gugo82]

Occhio che, secondo la definizione di \(f\) ed \(a_0\), hai:
\[
a_0=\frac{1}{\pi}\ \left( \int_{-\pi}^{-2} +\int_{-2}^2 +\int_2^\pi \right)\ f(x)\ \text{d} x=\frac{1}{\pi}\ \int_{-2}^2 (-1)\ \text{d} x = - \frac{4}{\pi}\; .
\]

[claudio_p88]

ok, grazie mille, avevo trascurato il modulo solito errore di distrazione.

[claudio_p88]

Un'altra cosa, come fà a stabilire che nel punto di discontinuità x = 2 la serie di Fourier converge a \(\displaystyle \frac{1}{2}[f(2+)+f(2-)] = -\frac{1}{2} \), il limite destro e sinistro nel punto x = 2 , non dovrebbe essere 0, come riportato nella prima parte dell'esercizio?

[gugo82]

Quel risultato di convergenza puntuale è classico (risale a Dirichlet) e l'ho citato completamente qui.
Se il docente (o il teso) lo usa, ci sarà anche sul libro usato come riferimento.

[claudio_p88]

grazie

[claudio_p88]

Scusa Gugo, ma non riesco proprio a capire cosa si intende per \(\displaystyle \frac{1}{2}[f(2^+)-f(2^-)] \), che vuol dire il punto medio tra il limite destro e sinistro, potresti calcolarmelo esplicitamente? Grazie mille.