Incomprensione condizione necessaria di convergenza
Salve a tutti,
Studiando l'argomento delle serie in Analisi 1 mi sono bloccato su un teorema:
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga, è che il limite del suo termine generale a(n) tenda a 0.
Ora, se fa esattamente 0, non ci piove, converge, ma se il limite tende ad un certo l reale? Non è comunque convergente ad l?
Scusate se ho commesso qualche errore nel postare la domanda ma sono nuovo.
Grazie in anticipo,
Buona giornata!
Studiando l'argomento delle serie in Analisi 1 mi sono bloccato su un teorema:
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga, è che il limite del suo termine generale a(n) tenda a 0.
Ora, se fa esattamente 0, non ci piove, converge, ma se il limite tende ad un certo l reale? Non è comunque convergente ad l?
Scusate se ho commesso qualche errore nel postare la domanda ma sono nuovo.
Grazie in anticipo,
Buona giornata!
Risposte
Attento alla differenza tra successione e serie!
Sia $\{a_n\}_{n \in NN}$ una successione di numeri reali. Sia $S_N := \sum_{n=0}^{N} a_n$ per ogni $N \in NN$. Nota che, al variare di $N \in NN$, anche $S_N$ è una successione! È detta successione delle somme parziali.
Ora, definiamo serie il limite di questa nuova successione e cioè
$sum_{n=0}^{\infty} a_n := \lim_{N \to \infty} S_N \quad \quad (1)$
Nota che $sum_{n=0}^{\infty} a_n$ è solo un simbolo! Diciamo che la serie converge se il limite $(1)$ esiste finito.
Quello che tu hai citato, cioè la condizione necessaria (ma non sufficiente) di convergenza dice che se la serie converge allora la successione tende a $0$.
Prova a vedere se quello che ho scritto ti é chiaro, dovresti accorgerti che alcune cose che hai scritto sono sbagliate!
Sia $\{a_n\}_{n \in NN}$ una successione di numeri reali. Sia $S_N := \sum_{n=0}^{N} a_n$ per ogni $N \in NN$. Nota che, al variare di $N \in NN$, anche $S_N$ è una successione! È detta successione delle somme parziali.
Ora, definiamo serie il limite di questa nuova successione e cioè
$sum_{n=0}^{\infty} a_n := \lim_{N \to \infty} S_N \quad \quad (1)$
Nota che $sum_{n=0}^{\infty} a_n$ è solo un simbolo! Diciamo che la serie converge se il limite $(1)$ esiste finito.
Quello che tu hai citato, cioè la condizione necessaria (ma non sufficiente) di convergenza dice che se la serie converge allora la successione tende a $0$.
Prova a vedere se quello che ho scritto ti é chiaro, dovresti accorgerti che alcune cose che hai scritto sono sbagliate!
Ciao Deghez,
Benvenuto sul forum!
Bremen000 ti ha già risposto correttamente, ma desideravo essere più diretto rispondendo punto per punto a quanto hai scritto.
No, può convergere, ma non è detto che lo faccia... Classico controesempio è la serie armonica $sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $, per la quale si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} 1/n = 0 $, ma la serie è notoriamente divergente.
No.
Benvenuto sul forum!
Bremen000 ti ha già risposto correttamente, ma desideravo essere più diretto rispondendo punto per punto a quanto hai scritto.
"Deghez":
Condizione necessaria ma non sufficiente affinché una serie converga, è che il limite del suo termine generale a(n) tenda a 0.
"Deghez":
Ora, se fa esattamente 0, non ci piove, converge
No, può convergere, ma non è detto che lo faccia... Classico controesempio è la serie armonica $sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n $, per la quale si ha $lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} 1/n = 0 $, ma la serie è notoriamente divergente.
"Deghez":
ma se il limite tende ad un certo l reale? Non è comunque convergente ad l?
No.
Per concludere:
La dimostrazione è anche semplice, basta ricordare un teoremino e capire di cosa si sta parlando.
Considera $(a_n)_(n inNN)$ successione e $(S_m)_(m inNN)$ successione delle somme parziali.
1) $S_(m)-S_(m-1)=sum_(n=0)^(m)a_n-sum_(n=0)^(m-1)a_n=a_m,forall m inNNsetminus{0}$
2) poiché $existsS inRR:lim_(m->+infty)S_m=S$ allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso limite. Di fatto $S_(m-1)$ è una sottosuccessione a voler essere pignoli.
Per tanto si ottiene che
$lim(a_m)=lim(S_m-S_(m-1))=limS_m-limS_(m-1)=S-S=0$
La dimostrazione è anche semplice, basta ricordare un teoremino e capire di cosa si sta parlando.
Considera $(a_n)_(n inNN)$ successione e $(S_m)_(m inNN)$ successione delle somme parziali.
1) $S_(m)-S_(m-1)=sum_(n=0)^(m)a_n-sum_(n=0)^(m-1)a_n=a_m,forall m inNNsetminus{0}$
2) poiché $existsS inRR:lim_(m->+infty)S_m=S$ allora tutte le sottosuccessioni convergono allo stesso limite. Di fatto $S_(m-1)$ è una sottosuccessione a voler essere pignoli.
Per tanto si ottiene che
$lim(a_m)=lim(S_m-S_(m-1))=limS_m-limS_(m-1)=S-S=0$
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