Inclusione tra spazi $ L^1, L^2, L^n... $

[nello_1981]

Ciao a tutti!
Ho un dubbio sugli spazi $ L^n $. Per la nozione di appartenenza agli spazi $ L^n $ intendo dire che se una funzione $ f(x) in L^n $ significa $ root(n)(int f(x)^n dx) < infty $. Detto questo so che vale tale inclusione tra gli spazi $ L^1 sup L^2 sup ... sup L^n $ quindi lo spazio $ L^1 $ include gli altri (cioè è quello più grande). La domanda è: può una funzione appartenere allo spazio $ L^2 $ ma non a $ L^1 $?
A rigor di logica NO, poichè $ L^2 sub L^1 $ quindi tutto quello che è in $ L^2 $ lo è anche in $ L^1 $...cosa ne pensate?

[gugo82]

Le inclusioni tra gli \(L^p\) dipendono dalla misura del dominio, in generale.

L'inclusione:
\[
\tag{I} 1\leq p\leq q\leq \infty \qquad \Rightarrow \qquad L^1(X)\supseteq L^p(X)\supseteq L^q(X)\supseteq L^\infty (X)
\]
vale solo se \(X\) ha misura finita (ad esempio, se \(X\) è un intervallo limitato di \(\mathbb{R}\) od un dominio limitato di \(\mathbb{R}^N\)).

Per mostrare che la (I) non vale se \(X\) ha misura infinita, bastano un paio di esempi.

[*:1t1i9wwj] La funzione \(u:]1,\infty[\ni x\mapsto 1\in \mathbb{R}\) è in \(L^\infty (1,\infty)\), ma non sta in nessun \(L^p(1,\infty)\) per \(1\leq p<\infty\): pertanto \(L^\infty (1,\infty) \not\subseteq L^p(1,\infty)\).

[/*:m:1t1i9wwj]
[*:1t1i9wwj] Per \(1\leq q<\infty\) la funzione \(v_q: ]1,\infty[\ni x\mapsto \frac{1}{x^{1/q}} \in \mathbb{R}\) non sta in \(L^q(1,\infty)\), ma sta in tutti gli \(L^p(1,\infty)\) con \(1\leq p

[/*:m:1t1i9wwj][/list:u:1t1i9wwj]

D'altra parte, se \(X\) ha misura infinita non valgono nemmeno, in genrale, le inclusioni inverse delle (I), cioè ad esempio non è vero che \(L^1(X)\subseteq L^\infty (X)\).
Infatti si possono costruire funzioni di \(L^1(1,\infty)\) continue e non limitate superiormente né inferiormente, e tali funzioni evidentemente non stanno in \(L^\infty (1,\infty)\).

[nello_1981]

Nsomma sta $ L $ è proprio anarchica?!
Grazie gugo

[gugo82]

Beh, non poi così tanto...

Ad esempio con la disuguaglianza di Hölder si riesce a mostrare che vale l'inclusione:
\[
1\leq p< q < r\leq \infty \qquad \Rightarrow \qquad L^p(X)\cap L^r(X)\subseteq L^q(X)
\]
per ogni \(X\) (i.e. sia se \(X\) ha misura finita, sia se ha misura infinita).
L'inclusione precedente dice che se una funzione è sommabile per due esponenti distinti, allora essa sta pure in tutti gli spazi con sommabilità intermedia.

[Gaal Dornick]

Qualche altra informazione la trovi qui:
un-po-di-questioni-sugli-spazi-l-p-t90838.html

Ma nessuno sembrava interessato a risolverli. Se ti va, ci puoi provare.

[nello_1981]

Grazie gaal, ora ci provo un pò...

[Cannone Speciale]

"gugo82":Le inclusioni tra gli \(L^p\) dipendono dalla misura del dominio, in generale.

L'inclusione:
\[
\tag{I} 1\leq p\leq q\leq \infty \qquad \Rightarrow \qquad L^1(X)\supseteq L^p(X)\supseteq L^q(X)\supseteq L^\infty (X)
\]
vale solo se \(X\) ha misura finita (ad esempio, se \(X\) è un intervallo limitato di \(\mathbb{R}\) od un dominio limitato di \(\mathbb{R}^N\)).

Per mostrare che la (I) non vale se \(X\) ha misura infinita, bastano un paio di esempi.

[*:3q7sotos] La funzione \(u:]1,\infty[\ni x\mapsto 1\in \mathbb{R}\) è in \(L^\infty (1,\infty)\), ma non sta in nessun \(L^p(1,\infty)\) per \(1\leq p<\infty\): pertanto \(L^\infty (1,\infty) \not\subseteq L^p(1,\infty)\).

[/*:m:3q7sotos]
[*:3q7sotos] Per \(1\leq q<\infty\) la funzione \(v_q: ]1,\infty[\ni x\mapsto \frac{1}{x^{1/q}} \in \mathbb{R}\) non sta in \(L^q(1,\infty)\), ma sta in tutti gli \(L^p(1,\infty)\) con \(1\leq p

[/*:m:3q7sotos][/list:u:3q7sotos]

D'altra parte, se \(X\) ha misura infinita non valgono nemmeno, in genrale, le inclusioni inverse delle (I), cioè ad esempio non è vero che \(L^1(X)\subseteq L^\infty (X)\).
Infatti si possono costruire funzioni di \(L^1(1,\infty)\) continue e non limitate superiormente né inferiormente, e tali funzioni evidentemente non stanno in \(L^\infty (1,\infty)\).

Scusate la mia intromissione, ma $ \frac{1}{x^{1/q}} $ a me sembra che non stia né in $ \L^q $ né in $ \L^p $ (con p

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[Cannone Speciale]

"gugo82":Le inclusioni tra gli \(L^p\) dipendono dalla misura del dominio, in generale.

L'inclusione:
\[
\tag{I} 1\leq p\leq q\leq \infty \qquad \Rightarrow \qquad L^1(X)\supseteq L^p(X)\supseteq L^q(X)\supseteq L^\infty (X)
\]
vale solo se \(X\) ha misura finita (ad esempio, se \(X\) è un intervallo limitato di \(\mathbb{R}\) od un dominio limitato di \(\mathbb{R}^N\)).

Per mostrare che la (I) non vale se \(X\) ha misura infinita, bastano un paio di esempi.

[*:a5zzqp76] La funzione \(u:]1,\infty[\ni x\mapsto 1\in \mathbb{R}\) è in \(L^\infty (1,\infty)\), ma non sta in nessun \(L^p(1,\infty)\) per \(1\leq p<\infty\): pertanto \(L^\infty (1,\infty) \not\subseteq L^p(1,\infty)\).

[/*:m:a5zzqp76]
[*:a5zzqp76] Per \(1\leq q<\infty\) la funzione \(v_q: ]1,\infty[\ni x\mapsto \frac{1}{x^{1/q}} \in \mathbb{R}\) non sta in \(L^q(1,\infty)\), ma sta in tutti gli \(L^p(1,\infty)\) con \(1\leq p

[/*:m:a5zzqp76][/list:u:a5zzqp76]

D'altra parte, se \(X\) ha misura infinita non valgono nemmeno, in genrale, le inclusioni inverse delle (I), cioè ad esempio non è vero che \(L^1(X)\subseteq L^\infty (X)\).
Infatti si possono costruire funzioni di \(L^1(1,\infty)\) continue e non limitate superiormente né inferiormente, e tali funzioni evidentemente non stanno in \(L^\infty (1,\infty)\).

forse volevi dire una funzione come 1/x che non appartiene a $ \L^1(1,\oo) $ ma appartiene a $ \L^p $ (con p>1)