IN CHE MODO TROVO y(x)?
Avendo questa equazione differenziale a var separabili:
${y'=(6y^2)/(y^2+9)x^2$ con il dato di cauchy $y(0)=3$
a me viene
$int(y^2+9)/(6y^2)dy=intx^2dx$
risolvendo ho infine
$3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$
Come faccio a determinare la y(x)?Oppure devo sostituire subito già qua il dato di cauchy?
${y'=(6y^2)/(y^2+9)x^2$ con il dato di cauchy $y(0)=3$
a me viene
$int(y^2+9)/(6y^2)dy=intx^2dx$
risolvendo ho infine
$3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$
Come faccio a determinare la y(x)?Oppure devo sostituire subito già qua il dato di cauchy?
Risposte
La soluzione generale dell'equazione differenziale è posta nella seguente forma...
$3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$ (1)
Moltiplicando per $2*y$ ambo i termini della (1) e riordinando un poco si ottiene...
$3*y^2+2*(c-x^3/3)*y-3=0$ (2)
... la quale altro non è che un'equazione algebrica di secondo grado in $y$. L'equazione ha naturalmente due soluzioni, ciascuna delle quali è una distinta funzione $y(x)$ determinata univocamente dalla condizione iniziale. Ci troviamo dunque dinnanzi ad un caso in cui la soluzione al problema di Cauchy esiste ma non è unica...
Qualcuno magari sà dire perchè?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$ (1)
Moltiplicando per $2*y$ ambo i termini della (1) e riordinando un poco si ottiene...
$3*y^2+2*(c-x^3/3)*y-3=0$ (2)
... la quale altro non è che un'equazione algebrica di secondo grado in $y$. L'equazione ha naturalmente due soluzioni, ciascuna delle quali è una distinta funzione $y(x)$ determinata univocamente dalla condizione iniziale. Ci troviamo dunque dinnanzi ad un caso in cui la soluzione al problema di Cauchy esiste ma non è unica...
Qualcuno magari sà dire perchè?...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
non ho fatto nessun conto, ma il pb di Cauchy dato soddisfa le condizioni del teorema di esistenza ed unicità
per cui molto probabilmente una delle due* funzioni che si trovano (come fatto da lupo grigio) non soddisfa la c.i. mentre l'altra sì
*grazie all'assunzione di continuità che nessuno si ricorda mai...
per cui molto probabilmente una delle due* funzioni che si trovano (come fatto da lupo grigio) non soddisfa la c.i. mentre l'altra sì
*grazie all'assunzione di continuità che nessuno si ricorda mai...
Quindi devo per forza trovarmi la y(x) come ha fatto lupo grigio o potrei a questo punto
&3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$
inserire il dato di cauchy e trovarmi la costante?
&3/2y-3/(2y)+c=x^3/3$
inserire il dato di cauchy e trovarmi la costante?
Eh già che nessuno si ricorda mai, poi vengono fuori errori madornali come questo, ovvero esistenza di due soluzioni; persone che risolvono equazioni differenziali a memoria, senza quasi forse sapere che stanno cercando una soluzione almeno derivabile!
Cercate di ragionare di più e a non basarvi sul puro calcolo.
Cercate di ragionare di più e a non basarvi sul puro calcolo.
Ti do pienamente ragione Luca, è che purtroppo ad ingegneria la matematica viene vista puramente come uno strumento basilare per poi affrontare i vari problemi di ogni tipo!di fatto lo dice il nome stesso dei corso "calcolo1,2..." e non più analisi...ecco perchè da noi le dimostrazioni ai vari teoremi nn vengono fatte ma ci viene indicato solamente il metodo per la risoluzione degli esercizi, come ad esempio in questo a me interessa trovare la y(x) che so solamente essere un'equazione con incognita in y
Non mi riferivo a te, ma a lupo grigio.
Ragazzi
secondo il mio modesto parere una persona intelligente la si riconosce quando ammette di aver sbagliato. In questo caso mi tocca fare ammenda [:oops:...] e riconosco pubblicamante il mio errore: aver preso per buona la 'soluzione' data da Elwood senza sottoporla a verifica e questo ha contribuito non poco a portarmi fuori strada...
Data l'equazione differenziale...
$y'=(6y^2)/(y^2+9)x^2$ con $y(0)=3$ (1)
... l'integrale generale si trova così...
$int (y^2+9)/(6y^2)*dy=int x^2*dx$ -> $y/6-3/(2y)=x^3/3 + c$ (2)
... la quale non è esattamente quella indicata da Elwood...
Comunque a questo punto la procedura da me indicata porta alla soluzione del problema in quanto moltiplicando ambo i membri della (2) per $6y^2$ porta all'equazione di secondo grado...
$y^2-(2x+6c)*y-9=0$ (3)
... e questa può essere risolta con la normale procedura. Si ottiene dunque...
$y=x^3+3c +- sqrt(x^6+6cx+9(1+c^2))$ (4)
Imponendo ora la condizione $y(0)=3$ si trova che l'unica costante che 'va bene' è $c=0$ per cui le due 'soluzioni' divengono...
$y= x^3 +- sqrt(x^6+9)$ (5)
A questo punto però ci si accorge che delle due solo quella col segno '+' soddisfa la condizione iniziale... in sostanza è esattamente come ha 'profetizzato' Patrone!...
... e a Patrone a questo punto non posso che raccomandare di tornare al più presto sul thread da lui aperto sulle equazioni differenziali per 'illuminarci' nella soluzione della 'equazione del cucù'
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
secondo il mio modesto parere una persona intelligente la si riconosce quando ammette di aver sbagliato. In questo caso mi tocca fare ammenda [:oops:...] e riconosco pubblicamante il mio errore: aver preso per buona la 'soluzione' data da Elwood senza sottoporla a verifica e questo ha contribuito non poco a portarmi fuori strada...
Data l'equazione differenziale...
$y'=(6y^2)/(y^2+9)x^2$ con $y(0)=3$ (1)
... l'integrale generale si trova così...
$int (y^2+9)/(6y^2)*dy=int x^2*dx$ -> $y/6-3/(2y)=x^3/3 + c$ (2)
... la quale non è esattamente quella indicata da Elwood...
Comunque a questo punto la procedura da me indicata porta alla soluzione del problema in quanto moltiplicando ambo i membri della (2) per $6y^2$ porta all'equazione di secondo grado...
$y^2-(2x+6c)*y-9=0$ (3)
... e questa può essere risolta con la normale procedura. Si ottiene dunque...
$y=x^3+3c +- sqrt(x^6+6cx+9(1+c^2))$ (4)
Imponendo ora la condizione $y(0)=3$ si trova che l'unica costante che 'va bene' è $c=0$ per cui le due 'soluzioni' divengono...
$y= x^3 +- sqrt(x^6+9)$ (5)
A questo punto però ci si accorge che delle due solo quella col segno '+' soddisfa la condizione iniziale... in sostanza è esattamente come ha 'profetizzato' Patrone!...
... e a Patrone a questo punto non posso che raccomandare di tornare al più presto sul thread da lui aperto sulle equazioni differenziali per 'illuminarci' nella soluzione della 'equazione del cucù'
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
esattamente come ha 'profetizzato' Patrone!...
un po' imbarazzante...
Ma dopo tutto in un altro thread mi sono autodefinito "mago" (e puntigliosamente "unico" per quel thread)! D'altronde, anche lì avevo profetizzato giusto.
Due profezie avveratesi in due giorni! Ora che ci penso forse lo sono davvero
Quanto al cucù, mi spiace. Gli astri non sono propizi!
Piuttosto, vorrei far ri-notare quanto dicevo:
"per cui molto probabilmente una delle due* funzioni che si trovano (come fatto da lupo grigio) non soddisfa la c.i. mentre l'altra sì
*grazie all'assunzione di continuità che nessuno si ricorda mai..."
Indovinello: cosa volevo dire?
Caro Patrone
provo a vedere se ho inteso bene che cosa intendi dire a proposito di ‘assunzione di continuità’…
E’ data una equazione differenziale del primo ordine nella forma…
$y’=f(x,y)$
$y(x_0)=y_0$ (1)
con $f(x,y)$ definita in un campo $A$ del quale fà parte ovviamente $(x_0,y_0)$. Nel problema che Elwood ha posto alla nostra attenzione era
$f(x,y)= x^2*(6y^2)/(y^2+9)$
$(x_0,y_0)= (0,3)$ (2)
… ed $A$ non definito. Immaginiamo di completare le condizioni del problema ipotizzando che $A$ sia una superficie quadrata di lato $l=10$, ossia $-5
Benissimo a questo punto è facile osservare che sia la $f(x,y)$ definita nelle (2), sia le sue derivate parziali sono continue e limitate in tutto $A$ e quindi, essendo $(x_0,y_0)$ in $A$, la soluzione esiste ed è unica. Due domande per Patrone…
a) è esatto quanto da me affermato?…
b) la soluzione esiste ed è unica per ogni altro $(x_0,y_0)$ in $A$?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
provo a vedere se ho inteso bene che cosa intendi dire a proposito di ‘assunzione di continuità’…
E’ data una equazione differenziale del primo ordine nella forma…
$y’=f(x,y)$
$y(x_0)=y_0$ (1)
con $f(x,y)$ definita in un campo $A$ del quale fà parte ovviamente $(x_0,y_0)$. Nel problema che Elwood ha posto alla nostra attenzione era
$f(x,y)= x^2*(6y^2)/(y^2+9)$
$(x_0,y_0)= (0,3)$ (2)
… ed $A$ non definito. Immaginiamo di completare le condizioni del problema ipotizzando che $A$ sia una superficie quadrata di lato $l=10$, ossia $-5
Benissimo a questo punto è facile osservare che sia la $f(x,y)$ definita nelle (2), sia le sue derivate parziali sono continue e limitate in tutto $A$ e quindi, essendo $(x_0,y_0)$ in $A$, la soluzione esiste ed è unica. Due domande per Patrone…
a) è esatto quanto da me affermato?…
b) la soluzione esiste ed è unica per ogni altro $(x_0,y_0)$ in $A$?…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
@lupo grigio
mi pare che quello che dici sia corretto, anche se non ha a che fare con la domanda che ponevo (vedi sotto). Mi spiace, e mi scuso con te, se il modo in cui ho posto la domanda poteva essere frainteso
@tutti
la mia domanda, rimasta in sospeso, NON riguarda direttamente le equazioni differenziali, anche se riguarda un "passaggio" che spesso ci si ritrova davanti risolvendo le equazioni differenziali (come è capitato nella risoluzione proposta da lupo grigio per il problema di ELWOOD)
allora la riformulo nel modo seguente, senza neanche menzionare le equadiff. Mi rendo conto benissimo che la seconda domanda del problema è formulata tuttora in modo un po' ermetico. Volutamente, perché questo problema è più che altro un invito a riflettere
Problema
Supponiamo di essere interessati a trovare l'espressione analitica di una funzione $y=f(x)$
facendo i conti, a un certo punto ci ritroviamo con la semplicissima condizione $|y|=1$
- cosa possiamo dedurre su $f(x)$?
- sotto quali condizioni sul dominio di $f$ e sulla regolarità di $f$ possiamo dedurre ciò che ci farebbe piacere?
mi pare che quello che dici sia corretto, anche se non ha a che fare con la domanda che ponevo (vedi sotto). Mi spiace, e mi scuso con te, se il modo in cui ho posto la domanda poteva essere frainteso
@tutti
la mia domanda, rimasta in sospeso, NON riguarda direttamente le equazioni differenziali, anche se riguarda un "passaggio" che spesso ci si ritrova davanti risolvendo le equazioni differenziali (come è capitato nella risoluzione proposta da lupo grigio per il problema di ELWOOD)
allora la riformulo nel modo seguente, senza neanche menzionare le equadiff. Mi rendo conto benissimo che la seconda domanda del problema è formulata tuttora in modo un po' ermetico. Volutamente, perché questo problema è più che altro un invito a riflettere
Problema
Supponiamo di essere interessati a trovare l'espressione analitica di una funzione $y=f(x)$
facendo i conti, a un certo punto ci ritroviamo con la semplicissima condizione $|y|=1$
- cosa possiamo dedurre su $f(x)$?
- sotto quali condizioni sul dominio di $f$ e sulla regolarità di $f$ possiamo dedurre ciò che ci farebbe piacere?
Che significa la condizione |y|=1?
Che la funzione e' eternamente costante in tutto il suo dominio?
Oppure che risulti |y(xo)|=1 ,dove xo e' un punto del suddetto ?
A scanso di equivoci preciso che si tratta di una cosa che non ho capito io
e di nien'altro...
karl
Che la funzione e' eternamente costante in tutto il suo dominio?
Oppure che risulti |y(xo)|=1 ,dove xo e' un punto del suddetto ?
A scanso di equivoci preciso che si tratta di una cosa che non ho capito io
e di nien'altro...
karl
"karl":
Che significa la condizione |y|=1?
Che la funzione e' eternamente costante in tutto il suo dominio?
eternamente!
amen
Che sia il fatto che puo' essere $y=+-1$ ?
Pero' in tal caso l'eternamente (non l'"amen")
non sarebbe appropriato.Ma forse sto ragionando
troppo terra terra e chissa' che ci sta sotto.
kaarl
Pero' in tal caso l'eternamente (non l'"amen")
non sarebbe appropriato.Ma forse sto ragionando
troppo terra terra e chissa' che ci sta sotto.
kaarl
"karl":
Che sia il fatto che puo' essere $y=+-1$ ?
Pero' in tal caso l'eternamente (non l'"amen")
non sarebbe appropriato.Ma forse sto ragionando
troppo terra terra e chissa' che ci sta sotto.
kaarl
la variabile $y$ prende valori in $RR$, questo era sottinteso
quindi, se so che $|y|=1$ ne segue che può essere $y=1$ oppure $y=-1$
attendo deduzioni su $f(x)$...
La questione non è di banale soluzione; se la funzione $f$ verifica $|f(x)|=1$ per ogni $x$, allora, senza nessun'altra considerazione e richiesta, ci sono infinite soluzioni a tale problema: ogni funzione che ha come immagine i soli due punti $-1$ e $1$.
Invece se cominciamo a chiedere regolarità le cose cambiano. Se per esempio vogliamo una funzione continua su un intervallo, per esempio chiuso e limitato, allora si hanno solo due soluzioni: $f(x)=1$ e $f(x)=-1$. Infatti se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato allora per il Teorema dei valori intermedi la sua imamgine deve essere un intervallo, e dunque l'immagine non può contenere sia $1$ che $-1$.
Se invece permettiamo al dominio di essere unione di più intervalli disgiunti, anche aperti, o nè aperti nè chiusi, e la $f$ debba sempre essere continua, allora ci sono diverse soluzioni: su ogni intervallo possiamo mettere la funzione $1$ o la funzione $-1$.
Lascio ad altri proseguire con la trattazione di altri casi.
Invece se cominciamo a chiedere regolarità le cose cambiano. Se per esempio vogliamo una funzione continua su un intervallo, per esempio chiuso e limitato, allora si hanno solo due soluzioni: $f(x)=1$ e $f(x)=-1$. Infatti se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato allora per il Teorema dei valori intermedi la sua imamgine deve essere un intervallo, e dunque l'immagine non può contenere sia $1$ che $-1$.
Se invece permettiamo al dominio di essere unione di più intervalli disgiunti, anche aperti, o nè aperti nè chiusi, e la $f$ debba sempre essere continua, allora ci sono diverse soluzioni: su ogni intervallo possiamo mettere la funzione $1$ o la funzione $-1$.
Lascio ad altri proseguire con la trattazione di altri casi.
Finalmente una risposta chiara.Fine degli indovinelli.
Tutta colpa mia,per carita'..
karl
Tutta colpa mia,per carita'..
karl
@Luca.Lussardi
tutto esatto, per quel che mi riguarda
questa considerazione è ESSENZIALE in molti casi nella soluzione di equazioni differenziali
prendiamo un caso facile facile:
$y'=y$
separando le variabili e facendo qualche conto, troviamo:
$ \log |y| = x + c$
da cui:
$|y| = e^x \cdot e^c$, ovvero ($k=e^c$, $k>0$):
$|y| = k e^x$
per passare a:
$y = k e^x$ oppure $y = - k e^x$
occorre sfruttare lle condizioni citate da Luca.Lussardi e sopra messa in evidenza (continuità + essere su un intervallo)
senza di quella NON si può trarre questa conclusione
tutto esatto, per quel che mi riguarda
"Luca.Lussardi":
Invece se cominciamo a chiedere regolarità le cose cambiano. Se per esempio vogliamo una funzione continua su un intervallo,
questa considerazione è ESSENZIALE in molti casi nella soluzione di equazioni differenziali
prendiamo un caso facile facile:
$y'=y$
separando le variabili e facendo qualche conto, troviamo:
$ \log |y| = x + c$
da cui:
$|y| = e^x \cdot e^c$, ovvero ($k=e^c$, $k>0$):
$|y| = k e^x$
per passare a:
$y = k e^x$ oppure $y = - k e^x$
occorre sfruttare lle condizioni citate da Luca.Lussardi e sopra messa in evidenza (continuità + essere su un intervallo)
senza di quella NON si può trarre questa conclusione
@karl
non c'era nessun "indovinello"
Il problema che ponevo voleva solo mettere in evidenza un problema che troppo spesso viene ignorato
non c'era nessun "indovinello"
Il problema che ponevo voleva solo mettere in evidenza un problema che troppo spesso viene ignorato
Ok.
Osservo solamente che ,nel caso particolare prospettato,la discussione
si presenta da sola :non credo siano molti quelli che tralascerebbero
il "||" nel caso del logaritmo.Comunque buone cose da ricordare.
karl
Osservo solamente che ,nel caso particolare prospettato,la discussione
si presenta da sola :non credo siano molti quelli che tralascerebbero
il "||" nel caso del logaritmo.Comunque buone cose da ricordare.
karl
@karl e @tutti
il problema NON è il valore assoluto "dentro al logaritmo"
il problema è nel passaggio seguente:
passare da:
$|y| = k e^x$
a:
$y = k e^x$ oppure $y = - k e^x$"
Gran parte degli studenti che imparano le equadiff non sono in grado di giustificare adeguatamente questo passaggio.
Per il quale si possono usare le considerazioni correttamente riportate da Luca.Lussardi
il problema NON è il valore assoluto "dentro al logaritmo"
il problema è nel passaggio seguente:
passare da:
$|y| = k e^x$
a:
$y = k e^x$ oppure $y = - k e^x$"
Gran parte degli studenti che imparano le equadiff non sono in grado di giustificare adeguatamente questo passaggio.
Per il quale si possono usare le considerazioni correttamente riportate da Luca.Lussardi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo