Impropri per funzione integranda illimitata
Salve a tutti signori,
sto provando a fare questo integrale improprio:
Voglio usare espressamente dei confronti per valutare l'eventuale convergenza:
$\int_{-1}^{1}xln(1-x^2)$
Osserviamo che è improprio in -1 e 1.
Dividiamo l'integrale in 2 parti:
$\int_{-1}^{0}f(x)$
$\int_{0}^{1}f(x)$
A questo punto mi blocco perchè fino a che si tratta di integrali impropri in 0 si fa taylor per cercare un approssimazione della funzione,
nel caso di improprietà in un valore diverso da 0 non saprei proprio come procedere.
Ripeto per chiarezza: so che si può calcolare la primitiva ma visto che non sempre è comodo, devo allenarmi con i confronti...
Grazie a tutti.
sto provando a fare questo integrale improprio:
Voglio usare espressamente dei confronti per valutare l'eventuale convergenza:
$\int_{-1}^{1}xln(1-x^2)$
Osserviamo che è improprio in -1 e 1.
Dividiamo l'integrale in 2 parti:
$\int_{-1}^{0}f(x)$
$\int_{0}^{1}f(x)$
A questo punto mi blocco perchè fino a che si tratta di integrali impropri in 0 si fa taylor per cercare un approssimazione della funzione,
nel caso di improprietà in un valore diverso da 0 non saprei proprio come procedere.
Ripeto per chiarezza: so che si può calcolare la primitiva ma visto che non sempre è comodo, devo allenarmi con i confronti...
Grazie a tutti.
Risposte
"improprietà".. Non l'avevo mai sentita questa. 
Hai che il limite per [tex]$x \to 1$[/tex] di [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ x - 1 } \to 0$[/tex] , quindi [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ x - 1 }$[/tex] è limitata... Vuoi continuare tu?
EDIT: Ho appena visto che la tua funzione è simmetrica rispetto all'origine. Sai cosa significa?
Hai che il limite per [tex]$x \to 1$[/tex] di [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ x - 1 } \to 0$[/tex] , quindi [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ x - 1 }$[/tex] è limitata... Vuoi continuare tu?
EDIT: Ho appena visto che la tua funzione è simmetrica rispetto all'origine. Sai cosa significa?
Non è corretto improprietà(?)
Non capisco da dove arriva il tuo discorso e perchè moltiplichi la radice per la funzione integranda.
Ipotizzo un confronto, ma non mi è ben chiaro cosa hai fatto.
Il discorso della simmetria a noi poco conta, perchè per la parte negativa possiamo studiare la convergenza di -f(x) che ha lo stesso carattere di f(x).
Non capisco da dove arriva il tuo discorso e perchè moltiplichi la radice per la funzione integranda.
Ipotizzo un confronto, ma non mi è ben chiaro cosa hai fatto.
Il discorso della simmetria a noi poco conta, perchè per la parte negativa possiamo studiare la convergenza di -f(x) che ha lo stesso carattere di f(x).
Un confronto, sì...
Ho fatto un errore, scrivo il procedimento corretto qui sotto.
Concordi con quanto ho scritto? [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ 1 - x }$[/tex] è limitata in un intorno di [tex]$1$[/tex]?
Verificato che lo sia sai dunque che esiste [tex]$M > 0$[/tex] tale che [tex]$0 \le | f(x) \cdot \sqrt{ 1 - x }| < M$[/tex]. Da questo si ha:
[tex]$| f(x)| < M \cdot \frac{1}{\sqrt{ 1 - x }}$[/tex]
Per il teorema del confronto, se [tex]$\frac{1}{\sqrt{ 1 - x }}$[/tex] è integrabile in senso generalizzato in un intorno sinistro di [tex]$1$[/tex], allora lo è anche il valore assoluto di [tex]$f$[/tex] e quindi (ti invito a constatarlo) lo è anche [tex]$f$[/tex].
Ho fatto un errore, scrivo il procedimento corretto qui sotto.
Concordi con quanto ho scritto? [tex]$f(x) \cdot \sqrt{ 1 - x }$[/tex] è limitata in un intorno di [tex]$1$[/tex]?
Verificato che lo sia sai dunque che esiste [tex]$M > 0$[/tex] tale che [tex]$0 \le | f(x) \cdot \sqrt{ 1 - x }| < M$[/tex]. Da questo si ha:
[tex]$| f(x)| < M \cdot \frac{1}{\sqrt{ 1 - x }}$[/tex]
Per il teorema del confronto, se [tex]$\frac{1}{\sqrt{ 1 - x }}$[/tex] è integrabile in senso generalizzato in un intorno sinistro di [tex]$1$[/tex], allora lo è anche il valore assoluto di [tex]$f$[/tex] e quindi (ti invito a constatarlo) lo è anche [tex]$f$[/tex].
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