Impostazione integrale
Salve a tutti,
ho da svolgere l'integrale $ \int _{A } 2/(sqrt( 4-x^2-y^2)) $ con $ A = { 4-x^2-y^2 >=0 , x^2+y^2 >=2x$
Passando a cordinate polari ottengo $A$ come unione ${2cos(\theta)<=\rho<=2, 0 <=\theta<=(\pi)/2 $ e $3/2(\pi)<=\theta<= 2(\pi)}$U$ { 0<=\rho<=2, (\pi )/2<=\theta<= 3/2(\pi)}$.
Da qui come devo impostare ora l'integrale ?
ho da svolgere l'integrale $ \int _{A } 2/(sqrt( 4-x^2-y^2)) $ con $ A = { 4-x^2-y^2 >=0 , x^2+y^2 >=2x$
Passando a cordinate polari ottengo $A$ come unione ${2cos(\theta)<=\rho<=2, 0 <=\theta<=(\pi)/2 $ e $3/2(\pi)<=\theta<= 2(\pi)}$U$ { 0<=\rho<=2, (\pi )/2<=\theta<= 3/2(\pi)}$.
Da qui come devo impostare ora l'integrale ?
Risposte
sostituisci anche nell'integrale le coordinate polari....scusa però ho un dubbio sul dominio...hai presente qual è? si tratta di un cerchio con un buco...
Cmq ho posto così il dominio poichè : $4-x^2-y^2 >=0 $tradotto $ 0 <=\rho<=2$
$x^2+y^2>= 2x $ tradotto $ \rho>=2cos(\theta)$
da qui vediamo quando $2cos(\theta) <=0 $ e questo quando $(\pi)/2<=\theta<=3/2(\pi)$.Quindi così ottengo il dominio posto sopra di cui però ho difficoltà a impostare gli estremi degli integrali che ottengo!!
$x^2+y^2>= 2x $ tradotto $ \rho>=2cos(\theta)$
da qui vediamo quando $2cos(\theta) <=0 $ e questo quando $(\pi)/2<=\theta<=3/2(\pi)$.Quindi così ottengo il dominio posto sopra di cui però ho difficoltà a impostare gli estremi degli integrali che ottengo!!
Non mi trovo con quello che dici cioè: $x^2+y^2>=2x$ non implica $\rho>=2cos(\theta)$, perchè
$x^2+y^2>=2x => x^2+y^2-2x>=0$ è la circonferenza con centro in $(1,0)$, quindi quando passi a coordinate polari si cambia la parametrizzazione...
EDIT: Si cambia nel senso, che non puoi usare più quella con centro nell'origine
$x^2+y^2>=2x => x^2+y^2-2x>=0$ è la circonferenza con centro in $(1,0)$, quindi quando passi a coordinate polari si cambia la parametrizzazione...
EDIT: Si cambia nel senso, che non puoi usare più quella con centro nell'origine
Esatto...oppure potresti fare una differenza di integrali...
si ma io la ottengo semplicemtente per sostituzione $x= \rho cos(\theta)$ e $y = \rho sin(\theta)$.Magari centrata come dici tu è più facile, ma comunque così non è sbagliatoe una volta fatto questo vorrei capire come continuare con gli estremi perchè trovo difficoltà visto come diventa poi il dominio..
L'integrale che cerchi è
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} f(x,y)\ \rho\ d\rho\ d\theta - \int_{-(\pi)/(2)}^{+(\pi)/(2)}\int_{0}^{2cos\theta} f(x,y)\ \rho\ d\rho\ d\theta$
Il secondo integrale lo trovi usando un simpatico teorema che dice che in una circonfererenza l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.
$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} f(x,y)\ \rho\ d\rho\ d\theta - \int_{-(\pi)/(2)}^{+(\pi)/(2)}\int_{0}^{2cos\theta} f(x,y)\ \rho\ d\rho\ d\theta$
Il secondo integrale lo trovi usando un simpatico teorema che dice che in una circonfererenza l'angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza.
scusami ma non sono daccordo su due cose.
Nel primo integrale gli estremi non sono $int _( (\pi)/2) ^((3/2)(\pi))..d_\theta?$e nel secondo $ int_2 ^(2cos(\theta))d_\rho ?$
Nel primo integrale gli estremi non sono $int _( (\pi)/2) ^((3/2)(\pi))..d_\theta?$e nel secondo $ int_2 ^(2cos(\theta))d_\rho ?$
Prova a calcolare qualche punto, quelli più facili, es. $(pi)/(2),(pi)/(4),(pi)/(6),$ in modo da convincerti che gli estremi che ho messo disegnano il dominio....
A questo livello è ancora possibile vedere e disegnare quello che si fa... prima devi esserne convinta.
A questo livello è ancora possibile vedere e disegnare quello che si fa... prima devi esserne convinta.
si ma algebricamente non capisco cosa sbaglio.
Parlo del primo integrale. Io avrei messo gli estremi $ int_ (( \pi)/2)^(3/2(\pi)) d_(\theta) $ perchè quando $ 2cos(\theta) <=0 $( e quindi di coseguenza $0<=(\rho)<=2$) ho che $ (( \pi)/2) <=\theta<=3/2(\pi)$ ..
Parlo del primo integrale. Io avrei messo gli estremi $ int_ (( \pi)/2)^(3/2(\pi)) d_(\theta) $ perchè quando $ 2cos(\theta) <=0 $( e quindi di coseguenza $0<=(\rho)<=2$) ho che $ (( \pi)/2) <=\theta<=3/2(\pi)$ ..
Il primo integrale è un cerchio raggio 2 centro l'origine.
Il dominio è quella cerchio con un "buco" da qualche parte (il buco è un cerchio raggio 1 centro (1,0)). Quello che faccio è calcolare l'integrale sul cerchio grande e poi di sottrargli il buco.
Lo puoi fare, allo stesso modo come sugli integrali "semplici", su $RR$, puoi fare $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
Capisco che gli estremi del secondo integrale sono un po' ostici, ma sul primo non c'è storia.
Il dominio è quella cerchio con un "buco" da qualche parte (il buco è un cerchio raggio 1 centro (1,0)). Quello che faccio è calcolare l'integrale sul cerchio grande e poi di sottrargli il buco.
Lo puoi fare, allo stesso modo come sugli integrali "semplici", su $RR$, puoi fare $\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx$
Capisco che gli estremi del secondo integrale sono un po' ostici, ma sul primo non c'è storia.
ma infatti guardando il disegno mi rendo conto che non va come dico io , però ripeto significa che il procedimento algbrico che ho fatto prima non va bene e vorrei capire dove sta l'errore ..perchè nel compito devo comunque "tradurre " il disegno in maniera algebrica e se le due cose sono in contraddizione l'esercizio è sbagliato..
Io non ti seguo. Cos'è il "procedimento algebrico" ?
La cosa un po' difficile in quetoi esercizio è mettere il raggio in funzione dell'angolo per il cerchio "scentrato".
Il resto è tutta discesa.
Va bene anche se spezzi l'integrale prima da $[(\pi)/(2),(3\pi)/(2)]$ e poi $[(-\pi)/(2),(\pi)/(2)]$... basta che metti gli estremi del raggio giusti...
La cosa un po' difficile in quetoi esercizio è mettere il raggio in funzione dell'angolo per il cerchio "scentrato".
Il resto è tutta discesa.
Va bene anche se spezzi l'integrale prima da $[(\pi)/(2),(3\pi)/(2)]$ e poi $[(-\pi)/(2),(\pi)/(2)]$... basta che metti gli estremi del raggio giusti...
quindi va bene se lo imposto così?
$ int_(( \pi)/2 )^(( 3/2)(\pi) )d_(\theta) int_0^2 f(x,\rho)(\rho) d_(\rho) + int_(((-\pi)/2))^((\pi)/2) d_(\theta) int _(2cos(\theta))^2f(x,\rho)(\rho )d_(\rho)$
$ int_(( \pi)/2 )^(( 3/2)(\pi) )d_(\theta) int_0^2 f(x,\rho)(\rho) d_(\rho) + int_(((-\pi)/2))^((\pi)/2) d_(\theta) int _(2cos(\theta))^2f(x,\rho)(\rho )d_(\rho)$
Ok, così va bene.
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