Impostazione integrale
nn
Risposte
Il solido è la parte di spazio compresa tra le due superfici-grafico di equazioni:
\[
\begin{split}
z&:=f(x,y):=5x^2+2y^2-4xy\\
z&=g(x,y):=x+2y+1
\end{split}
\]
i.e.:
\[
S:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ f(x,y)\leq z \leq g(x,y)\}\; .
\]
Dato che $g$ è affine, il suo grafico è un piano; d'altra parte, dato che $f$ è quadratica, il suo grafico è una quadrica ed, essendo:
\[
\begin{split}
f(x,y) &= 5x^2+2y^2-4xy\\
&= \left( \frac{2}{\sqrt{2}} x - \sqrt{2} y\right)^2 + \left( 5-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) x^2\; ,
\end{split}
\]
in particolare è un paraboloide ellittico.
Per determinare il volume di $S$ basta integrare la funzione identicamente uguale ad $1$ su $S$, i.e. calcolare:
\[
\operatorname{vol} (S) = \iiint_S 1\ \text{d} x\text{d} y\text{d} z\; .
\]
Per calcolare l'integrale basta usare la formula di riduzione rispetto al piano $Oxy$ (dato che $S$ è normale a tale piano), la quale implica:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol}(S) &= \iint_D \left( \int_{f(x,y)}^{g(x,y)} 1\ \text{d} z\right)\ \text{d} x\text{d} y\\
&= \iint_D \Big( g(x,y) - f(x,y)\Big)\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\end{split}
\]
in cui $D$ è la proiezione di $S$ sul piano $Oxy$, ossia l'insieme delle coppie $(x,y)$ che sono possibili ascisse ed ordinate di punti di $S$.
Per com'è definito $S$ si ha $(x,y)\in D$ se e solo se $f(x,y)<= g(x,y)$, pertanto:
\[
D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 5x^2 + 2y^2 - 4xy - x - 2y -1\leq 0\}\; .
\]
Geometricamente, per com'è fatto $S$, è ovvio che $D$ è la regione delimitata da un'ellisse.
Tuttavia serve un po' di lavoro per stabilire quali sono le inclinazioni degli assi e per il passaggio in coordinate polari (se utile)... Insomma, devi smanettare un po' coi conti.
Se non erro, il centro è in $(11/4 , 13/8)$ egli assi dovrebbero avere coefficienti angolari $2$ e $-1/2$.
\[
\begin{split}
z&:=f(x,y):=5x^2+2y^2-4xy\\
z&=g(x,y):=x+2y+1
\end{split}
\]
i.e.:
\[
S:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:\ f(x,y)\leq z \leq g(x,y)\}\; .
\]
Dato che $g$ è affine, il suo grafico è un piano; d'altra parte, dato che $f$ è quadratica, il suo grafico è una quadrica ed, essendo:
\[
\begin{split}
f(x,y) &= 5x^2+2y^2-4xy\\
&= \left( \frac{2}{\sqrt{2}} x - \sqrt{2} y\right)^2 + \left( 5-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) x^2\; ,
\end{split}
\]
in particolare è un paraboloide ellittico.
Per determinare il volume di $S$ basta integrare la funzione identicamente uguale ad $1$ su $S$, i.e. calcolare:
\[
\operatorname{vol} (S) = \iiint_S 1\ \text{d} x\text{d} y\text{d} z\; .
\]
Per calcolare l'integrale basta usare la formula di riduzione rispetto al piano $Oxy$ (dato che $S$ è normale a tale piano), la quale implica:
\[
\begin{split}
\operatorname{vol}(S) &= \iint_D \left( \int_{f(x,y)}^{g(x,y)} 1\ \text{d} z\right)\ \text{d} x\text{d} y\\
&= \iint_D \Big( g(x,y) - f(x,y)\Big)\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\end{split}
\]
in cui $D$ è la proiezione di $S$ sul piano $Oxy$, ossia l'insieme delle coppie $(x,y)$ che sono possibili ascisse ed ordinate di punti di $S$.
Per com'è definito $S$ si ha $(x,y)\in D$ se e solo se $f(x,y)<= g(x,y)$, pertanto:
\[
D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 5x^2 + 2y^2 - 4xy - x - 2y -1\leq 0\}\; .
\]
Geometricamente, per com'è fatto $S$, è ovvio che $D$ è la regione delimitata da un'ellisse.
Tuttavia serve un po' di lavoro per stabilire quali sono le inclinazioni degli assi e per il passaggio in coordinate polari (se utile)... Insomma, devi smanettare un po' coi conti.
Se non erro, il centro è in $(11/4 , 13/8)$ egli assi dovrebbero avere coefficienti angolari $2$ e $-1/2$.
Ti ringrazio per la spiegazione, ero arrivato più o meno a questo punto questo pomeriggio e mi ero messo a fare cambi di variabili praticamente a casaccio cercando di far diventare D un cerchio e poi andare con le coordinate polari ma non riesco, lo avevo finito ma veniva un risultato sbagliato perché c'era un calolo sbagliato nel primo cambio di variabile, il termine in xy nella prima disequazione veniva $-6xy$ e non $-4xy$.
Dopo vari calcoli su queste $(u,v)$ ero andato su ulteriori coordinate derivanti dalle prime $(a,b)$ che insieme a un termine noto davano l'equazione di un cerchio da trasformare con coordinate polari, ma come detto all'inizio era sbagliata la "fattorizzazione" del polinomio iniziale con cui avevo posto $z >= u^2 + v^2$.
Questa via può andare bene (con un altra fattorizzazione simile che non riesco a trovare)? Il polinomio $5x^2 + 2y^2 - 4xy$ come si può mettere per arrivare a coordinate simili? Quella che mi hai dato all'inizio non so come impostarla per l'altra "condizione" della regione (il piano $x + 2y + 1$)
O ci sono altri modi meno macchinosi? Non riesco ad arrivare a porre gli estremi di integrazione in polari.
Dopo vari calcoli su queste $(u,v)$ ero andato su ulteriori coordinate derivanti dalle prime $(a,b)$ che insieme a un termine noto davano l'equazione di un cerchio da trasformare con coordinate polari, ma come detto all'inizio era sbagliata la "fattorizzazione" del polinomio iniziale con cui avevo posto $z >= u^2 + v^2$.
Questa via può andare bene (con un altra fattorizzazione simile che non riesco a trovare)? Il polinomio $5x^2 + 2y^2 - 4xy$ come si può mettere per arrivare a coordinate simili? Quella che mi hai dato all'inizio non so come impostarla per l'altra "condizione" della regione (il piano $x + 2y + 1$)
O ci sono altri modi meno macchinosi? Non riesco ad arrivare a porre gli estremi di integrazione in polari.
Perché hai cancellato il testo dell'esercizio?
Rimetti quello corretto...
Ad ogni buon conto, le cose non cambiano: $S$ è sempre la parte di spazio racchiusa tra un paraboloide ellittico ed un piano ed il suo volume è dato da:
\[
\operatorname{vol}(S) = \iint_D \Big( 5x^2 - 6xy + 2 y^2 - x - 2y - 1 \Big)\ \text{d} x\text{d} y
\]
in cui $D$ è il dominio delimitato dall'ellisse di equazione $5x^2 - 6xy + 2 y^2 - x - 2y - 1=0$.
Il centro dell'ellisse è $C=(x_0,y_0)=(4,13/2)$; gli assi sono orientati lungo gli autovettori della matrice della parte quadratica, i.e. $v_1=(v_{1x},v_{1y})$ e $v_2=(v_{2x},v_{2y})$; le lunghezze dei semiassi sono legati ai valori assoluti degli autovalori dalle formule $a=1/sqrt(|\lambda_1|)$ e $b=1/sqrt(|\lambda_2|)$.
Il cambiamento di variabili per riportare tutto in una situazione accettabile in polari è del tipo:
\[
\begin{cases}
x=x_0+a\cos (\theta + \theta_1)\\
y=y_0 + b\sin (\theta + \theta_1)
\end{cases}
\]
in cui $\theta_1$ è l'angolo formato dal vettore $v_1$ col semiasse delle $x$ positive.
Rimetti quello corretto...
Ad ogni buon conto, le cose non cambiano: $S$ è sempre la parte di spazio racchiusa tra un paraboloide ellittico ed un piano ed il suo volume è dato da:
\[
\operatorname{vol}(S) = \iint_D \Big( 5x^2 - 6xy + 2 y^2 - x - 2y - 1 \Big)\ \text{d} x\text{d} y
\]
in cui $D$ è il dominio delimitato dall'ellisse di equazione $5x^2 - 6xy + 2 y^2 - x - 2y - 1=0$.
Il centro dell'ellisse è $C=(x_0,y_0)=(4,13/2)$; gli assi sono orientati lungo gli autovettori della matrice della parte quadratica, i.e. $v_1=(v_{1x},v_{1y})$ e $v_2=(v_{2x},v_{2y})$; le lunghezze dei semiassi sono legati ai valori assoluti degli autovalori dalle formule $a=1/sqrt(|\lambda_1|)$ e $b=1/sqrt(|\lambda_2|)$.
Il cambiamento di variabili per riportare tutto in una situazione accettabile in polari è del tipo:
\[
\begin{cases}
x=x_0+a\cos (\theta + \theta_1)\\
y=y_0 + b\sin (\theta + \theta_1)
\end{cases}
\]
in cui $\theta_1$ è l'angolo formato dal vettore $v_1$ col semiasse delle $x$ positive.
Grazie mille!
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