Impostazione disequazioni per limiti funzioni due variabili
Ciao a tutti,
mi sono appena iscritto al forum e spero di riuscire ad imparare presto a scrivere correttamente rispettando tutte le regole (che ho letto poco fa!) specialmente in riferimento alle formule.
Ho iniziato a studiare analisi 2 da qualche giorno e vorrei porre un quesito:
come faccio ad impostare le disequazioni per definire l'esistenza dei limiti di funzioni di due variabili utilizzando la definizione propria di limite?
Ho letto numerosissime conversazioni vecchie ma non sono riuscito a capirci molto a livello di ragionamento. Forse anche complice il fatto che ho appena ricominciato a studiare dopo l'estate e il mio cervello ha ancora un'elasticità pari alla ghisa!!!
Non scrivo alcun esempio, al momento, perché vorrei prima capire il ragionamento che bisogna fare per impostare il problema.
Grazie in anticipo per l'attenzione!!!
mi sono appena iscritto al forum e spero di riuscire ad imparare presto a scrivere correttamente rispettando tutte le regole (che ho letto poco fa!) specialmente in riferimento alle formule.
Ho iniziato a studiare analisi 2 da qualche giorno e vorrei porre un quesito:
come faccio ad impostare le disequazioni per definire l'esistenza dei limiti di funzioni di due variabili utilizzando la definizione propria di limite?
Ho letto numerosissime conversazioni vecchie ma non sono riuscito a capirci molto a livello di ragionamento. Forse anche complice il fatto che ho appena ricominciato a studiare dopo l'estate e il mio cervello ha ancora un'elasticità pari alla ghisa!!!
Non scrivo alcun esempio, al momento, perché vorrei prima capire il ragionamento che bisogna fare per impostare il problema.
Grazie in anticipo per l'attenzione!!!
Risposte
Posto l'esempio del libro per essere più chiaro:
$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)= l <=> AA epsilon > 0 EE delta>0 : AA (x,y) in D-{(x_0,y_0)}$
$sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) < delta => |f(x,y)-l|
usando la definizione risolve l'esempio in questo modo:
$lim_((x,y)->(0,0))x^4/(x^2+y^2)=0$
"Per mezzo della disuguaglianza $x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$ otteniamo
$|x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2$
perciò, per ogni $epsilon>0$, posto $delta=sqrt(epsilon)$,si ha
$sqrt(x^2+y^2) |x^4/(x^2+y^2)-0|
Le mie domande sono:
1- secondo quale ragionamento ha impostato la prima disequazione ($x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$), semplicemente per trovare una funzione maggiore che contemporaneamente mi tolga di torno il denominatore?
2- come devo ragionare per poter dire che per ogni $epsilon>0$, pongo $delta=sqrt(epsilon)$ ?
3. in definitiva, quali sono i passaggi che mi portano al risultato?
Non riesco proprio ad arrivarci, mi manca "qualche gradino" di ragionamento per poter raggiungere il risultato dell'esistenza o meno del limite.
Grazie!!!
$lim_((x,y)->(x_0,y_0)) f(x,y)= l <=> AA epsilon > 0 EE delta>0 : AA (x,y) in D-{(x_0,y_0)}$
$sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) < delta => |f(x,y)-l|
usando la definizione risolve l'esempio in questo modo:
$lim_((x,y)->(0,0))x^4/(x^2+y^2)=0$
"Per mezzo della disuguaglianza $x^4=x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$ otteniamo
$|x^4/(x^2+y^2)|=x^4/(x^2+y^2)<=(x^2(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=x^2<=x^2+y^2$
perciò, per ogni $epsilon>0$, posto $delta=sqrt(epsilon)$,si ha
$sqrt(x^2+y^2)
Le mie domande sono:
1- secondo quale ragionamento ha impostato la prima disequazione ($x^2*x^2<=x^2(x^2+y^2)$), semplicemente per trovare una funzione maggiore che contemporaneamente mi tolga di torno il denominatore?
2- come devo ragionare per poter dire che per ogni $epsilon>0$, pongo $delta=sqrt(epsilon)$ ?
3. in definitiva, quali sono i passaggi che mi portano al risultato?
Non riesco proprio ad arrivarci, mi manca "qualche gradino" di ragionamento per poter raggiungere il risultato dell'esistenza o meno del limite.
Grazie!!!
Avevo già letto ma ci sono ancora delle cose a cui non arrivo!
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