Impostare un'equazione differenziale

[ale.b14]

Ciao a tutti, studiando le equazioni differenziali ordinarie mi sono imbattuto in questo problema:

Un punto $P$ si muove nel piano $(x,y)$ lungo l'asse $y$, mentre un altro punto $Q$ lo insegue (ovvero il moto di $Q$ è sempre diretto verso $P$), mantenendo costante la distanza da $P.$
Determinare la traiettoria di Q, supponendo che $P$ parta dall'origine e $Q$ dal punto $(a,0)$.

Io mi sono ingarbugliato cercando di parametrizzare in funzione del tempo la traiettoria di $Q$, però mi viene fuori un sistemone che credo sia molto lontano dalla soluzione del quesito (anche perchè nella soluzione avevo supposto che il moto di $P$ fosse rettilineo uniforme)!
Qualcuno può darmi una mano?

[dissonance]

Hai provato a trovare la traiettoria come grafico di una funzione della $x$? Mi pare di ricordare che con questo approccio arrivi ad una equazione di Clairaut...

[ale.b14]

allora:

Sia $f(x)$ la funzione che descrive la traiettoria del punto $Q$. Allora l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x)$ nel punto $(t,f(t))$ è

$r(x)=f'(t)(x-t)+f(t)$;

Pertanto si ha:

$r(0)=f(t)-tf'(t)$

Ciò significa che nell'istante in cui il punto $Q$ si trova in $(t,f(t))$, il punto $P$ si trova in $(0,f(t)-tf'(t))$.
Imponendo la condizione che la distanza tra questi due punti sia pari ad $a$ si ottiene l'equazione:

$sqrt(t^2+t^2f'(t)^2)=a$

da cui, con qualche manipolazione e osservazione, si arriva all'equazione differerenziale:

$f'(t)=-sqrt((a^2-t^2)/(t^2))$

con la condizione al contorno $f(a)=0$.
Se tutto è giusto, come si integra quella robaccia?