Importanza Teorema di Bolzano-Weierstrass
Salve!
Continuando negli studi dell'Analisi Matematica i , arrivato ai vari enunciati riguardanti la "Topologia in R", adesso al Teorema di Bolzano-Weierstrass;
Vi chiedo l'importanza di tale enunciato nel proseguimento dei tanti argomenti del programma che dovrò felicemente e inevitabilmente studiare.
La Domanda all'apparenza sciocca e priva di significato, è nata dal fatto che il mio docente di analisi nel programma ha inserito un * asterisco a tale enunciato( come in altri), significante dimostrazione da omettere.
Oltre che dal fatto che dovrò ristudiarlo perchè a primo impatto ci sono alcuni punti della dimostrazione che mi sfuggono.
Ogni insieme X di Reali, limitato e infinito ammette almeno un punto di accumulazione.
questo è l'enunciato originale come sapete....
Grazie in anticipo per chiarimenti e delucidazioni riguardanti il topic.
Continuando negli studi dell'Analisi Matematica i , arrivato ai vari enunciati riguardanti la "Topologia in R", adesso al Teorema di Bolzano-Weierstrass;
Vi chiedo l'importanza di tale enunciato nel proseguimento dei tanti argomenti del programma che dovrò felicemente e inevitabilmente studiare.
La Domanda all'apparenza sciocca e priva di significato, è nata dal fatto che il mio docente di analisi nel programma ha inserito un * asterisco a tale enunciato( come in altri), significante dimostrazione da omettere.
Oltre che dal fatto che dovrò ristudiarlo perchè a primo impatto ci sono alcuni punti della dimostrazione che mi sfuggono.
Ogni insieme X di Reali, limitato e infinito ammette almeno un punto di accumulazione.
questo è l'enunciato originale come sapete....
Grazie in anticipo per chiarimenti e delucidazioni riguardanti il topic.
Risposte
Ciao,
io non l'ho studiato in questa forma. Ho visto questo risultato che tu citi mentre studiavo la parte di topologia di $RR$, ma Bolzano Weierstrass l'ho studiato con le successioni (ogni successione limitata ha estratta convergente). Ho usato il fatto che ogni sottoinsieme infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione nella dimostrazione del teorema.
A fine lezione, poi, ricordo di aver chiesto al prof. se esisteva in qualche modo un'equivalenza tra i due (ovvero, se sapendo che ogni successione limitata ha estratta convergente si potesse dedurre che ogni insieme infinito e limitato ha un punto di accumulazione): mi ha risposto dicendomi che esiste un tale "gioco" di equivalenze, ma su di esso non sapeva dirmi più di tanto. Mi ha invitato a pensarci su, e per un po' l'avevo anche fatto, poi ho deciso di accantonare la questione in vista di tempi più tranquilli...
In ogni caso, è comuque un risultato importante e notevole dell'Analisi. A quanto ne so io caratterizza $RR$: va ad unirsi al Criterio di convergenza di Cauchy, proprietà archimedea dei numeri reali e assioma dell'estremo superiore (o formulazione equivalente, insomma, continuità di Dedekind).
A livello pratico, usi B-W (ad esempio) nella dimostrazione del teorema di Heine-Cantor sull'uniforme continuità, altro risultato decisamente di rilievo.
Spero di esserti stato utile.
Ciao!
io non l'ho studiato in questa forma. Ho visto questo risultato che tu citi mentre studiavo la parte di topologia di $RR$, ma Bolzano Weierstrass l'ho studiato con le successioni (ogni successione limitata ha estratta convergente). Ho usato il fatto che ogni sottoinsieme infinito e limitato ha almeno un punto di accumulazione nella dimostrazione del teorema.
A fine lezione, poi, ricordo di aver chiesto al prof. se esisteva in qualche modo un'equivalenza tra i due (ovvero, se sapendo che ogni successione limitata ha estratta convergente si potesse dedurre che ogni insieme infinito e limitato ha un punto di accumulazione): mi ha risposto dicendomi che esiste un tale "gioco" di equivalenze, ma su di esso non sapeva dirmi più di tanto. Mi ha invitato a pensarci su, e per un po' l'avevo anche fatto, poi ho deciso di accantonare la questione in vista di tempi più tranquilli...
In ogni caso, è comuque un risultato importante e notevole dell'Analisi. A quanto ne so io caratterizza $RR$: va ad unirsi al Criterio di convergenza di Cauchy, proprietà archimedea dei numeri reali e assioma dell'estremo superiore (o formulazione equivalente, insomma, continuità di Dedekind).
A livello pratico, usi B-W (ad esempio) nella dimostrazione del teorema di Heine-Cantor sull'uniforme continuità, altro risultato decisamente di rilievo.
Spero di esserti stato utile.
Ciao!
L'equivalenza tra le due formulazioni che avete citato è un fatto che si formalizza in topologia generale. Uno spazio topologico in cui ogni successione ha una estratta convergente si dice compatto per successioni; uno spazio topologico in cui ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione si dice numerabilmente compatto (terminologia non universale). Queste due nozioni non sono sempre equivalenti (in $RR$ e più in generale in ogni spazio metrizzabile si). Lo studierete più avanti comunque, questo post è più che altro curiosità.
"dissonance":
L'equivalenza tra le due formulazioni che avete citato è un fatto che si formalizza in topologia generale. Uno spazio topologico in cui ogni successione ha una estratta convergente si dice compatto per successioni; uno spazio topologico in cui ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto di accumulazione si dice numerabilmente compatto (terminologia non universale). Queste due nozioni non sono sempre equivalenti (in $RR$ e più in generale in ogni spazio metrizzabile si). Lo studierete più avanti comunque, questo post è più che altro curiosità.
grazie!!
cmq.. si era più che altro curiosità, con la certezza, che tutto è importante e quindi da studiare, ma che ci possono essere alcune cose ai fini pratici che servono pochetto!
a presto.
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