Implicazione teorema di Weierstrass

[Frank011]

Buona sera, internauti! Mi sono imbattuto in un esercizio, un vero o falso, che consiste in una deduzione logica basata su implicazioni dei vari teoremi studiati.
In particolare, l'esercizio recita: Se $f$ è illimitata in $[a,b]$, allora ha almeno un punto di discontinuità.
La risposta corretta è "vero" e il motivo che il testo si limita ad esplicitare è semplicemente "per il teorema di Weierstrass" ma non riesco a comprendere l'implicazione che sta di mezzo, e perchè si è "andati a scomodare" proprio lui.

Fiducioso nella vostra celerità e cortesia, nonchè competenza, aspetto una vostra gradita risposta!

[anto_zoolander]

Th di weier(l’amico mio)
$f:I->RR$ funzione con $I$ chiuso e limitato.
Se $f$ è continua in $I$ allora è limitata ed esistono massimo e minimo assoluto.

Contronominale

Se $f$ è illimitata e non esistono massimo o minimo assoluto, allora esiste almeno un punto in $I$ nel quale $f$ non sia continua.

Spero di non aver sbagliato la negazione

[Plepp]

Sì. Ad essere pignoli la tesi del teorema di Weierstrass è che $f$ ha massimo e minimo (e, in particolare, $f$ è limitata).

Quindi: se $f$ è illimitata, allora o non ha massimo o non ha minimo. Per il teorema di Weierstrass, $f$ non può essere continua (se lo fosse, sarebbe limitata).

[Frank011]

"anto_zoolander":Th di weier(l’amico mio)
$f:I->RR$ funzione con $I$ chiuso e limitato.
Se $f$ è continua in $I$ allora è limitata ed esistono massimo e minimo assoluto.

Contronominale

Se $f$ è illimitata e non esistono massimo o minimo assoluto, allora esiste almeno un punto in $I$ nel quale $f$ non sia continua.

Spero di non aver sbagliato la negazione

Beh, devo dire che questo genere di approccio prettamente logico dal punto di vista strutturale non l'avevo provato.
Grazie, adesso ha più senso.