Immagine funzioni di due variabili in un insieme
Buonasera!
Come avete letto dal titolo, vi scrivo per chiedervi un parere.
Sto facendo un po' di esercizi nei quali viene chiesto di trovare l'immagine di una funzione a due variabili in un insieme.
Esempio:
$f(x,y)= x*y - y$
Insieme $ D = {(x,y): x^2 + y^2 <= 1} $
Sono consapevole del fatto che non esiste un procedimento unico da seguire per la risoluzione di questi esercizi. Tuttavia ci sono degli "step" iniziali che secondo me sono molto utili se non necessari. Correggetemi se sbaglio.
- Inizio, ovviamente, osservando la funzione (quali sono le sue caratteristiche nell'insieme) e l'insieme stesso;
- Osservo le linee di livello della funzione e per quali valori di $k$, l'equazione $f(x,y)=k$ ammette soluzioni;
- Calcolo il gradiente della funzione e verifico se i punti in cui il gradiente si annulla si trovano nell'insieme considerato. Valuto il valore della funzione in tali punti;
- Studio la funzione ristretta alla frontiera dell'insieme.
Detto ciò vorrei porvi due domande:
1) Ho detto qualche cavolata? Voi fareste in modo diverso?
2) A proposito dell'ultimo punto scritto (restrizione), vorrei chiedervi come fare considerando l'esempio precedente.
Come posso scrivere la restrizione della funzione $f(x,y)= x*y - y$ alla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ usando le coordinate polari?
Essendo il raggio = 1 , scriverei
$f(\rho,\theta)= cos(\theta) * sin(\theta) - sin(\theta)$
E' corretto? Oppure ho scritto una grande fesseria?
Ciao a tutti scusate se sono stato prolisso!!!
Come avete letto dal titolo, vi scrivo per chiedervi un parere.
Sto facendo un po' di esercizi nei quali viene chiesto di trovare l'immagine di una funzione a due variabili in un insieme.
Esempio:
$f(x,y)= x*y - y$
Insieme $ D = {(x,y): x^2 + y^2 <= 1} $
Sono consapevole del fatto che non esiste un procedimento unico da seguire per la risoluzione di questi esercizi. Tuttavia ci sono degli "step" iniziali che secondo me sono molto utili se non necessari. Correggetemi se sbaglio.
- Inizio, ovviamente, osservando la funzione (quali sono le sue caratteristiche nell'insieme) e l'insieme stesso;
- Osservo le linee di livello della funzione e per quali valori di $k$, l'equazione $f(x,y)=k$ ammette soluzioni;
- Calcolo il gradiente della funzione e verifico se i punti in cui il gradiente si annulla si trovano nell'insieme considerato. Valuto il valore della funzione in tali punti;
- Studio la funzione ristretta alla frontiera dell'insieme.
Detto ciò vorrei porvi due domande:
1) Ho detto qualche cavolata? Voi fareste in modo diverso?
2) A proposito dell'ultimo punto scritto (restrizione), vorrei chiedervi come fare considerando l'esempio precedente.
Come posso scrivere la restrizione della funzione $f(x,y)= x*y - y$ alla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ usando le coordinate polari?
Essendo il raggio = 1 , scriverei
$f(\rho,\theta)= cos(\theta) * sin(\theta) - sin(\theta)$
E' corretto? Oppure ho scritto una grande fesseria?
Ciao a tutti scusate se sono stato prolisso!!!
Risposte
Non devi scusarti, anzi questo è esattamente lo spirito del forum.
Le osservazioni che hai fatto sono tutte più che sensate.
C'è solo un punto da rivedere: il passaggio alle coordinate polari.
Fai variare anche $0<=rho<=1$ e poi analizzi cosa accade alla funzione $f(rho, theta)$ al variare del "raggio".
Quella che hai scritto è $f(1, theta)$ quindi l'immagine della "frontiera".
Facendo variare $rho$ avrai automaticamente tutte le curve di livello
Le osservazioni che hai fatto sono tutte più che sensate.
C'è solo un punto da rivedere: il passaggio alle coordinate polari.
Fai variare anche $0<=rho<=1$ e poi analizzi cosa accade alla funzione $f(rho, theta)$ al variare del "raggio".
Quella che hai scritto è $f(1, theta)$ quindi l'immagine della "frontiera".
Facendo variare $rho$ avrai automaticamente tutte le curve di livello
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